Первое из этих решений считается большим, потому что 1 = 1a для любого a и для a = 7 в том числе. Гипотеза Ферма — Каталана утверждает, что для больших s уравнение Ферма — Каталана имеет лишь конечное число целых взаимно простых решений. Основной результат доказали в 1997 г. Анри Дармон и Лоик Мерель: не существует решений, в которых c = 3, а a и b равны и больше 3. Больше почти ничего не известно. Дальнейший прогресс, судя по всему, зависит от поразительной новой гипотезы, речь о которой пойдет ниже.
Гипотеза ABC
В 1983 г. Ричард Мейсон обратил внимание на то, что один случай Великой теоремы Ферма никем никогда не рассматривался: речь идет о первых степенях. Иными словами, об уравнении a + b = c.
На первый взгляд, эта мысль абсолютно бессмысленна. Чтобы решить это уравнение для любой из трех переменных, выразив ее через две остальные, не нужны большие познания в алгебре. К примеру, a = c — b. Однако есть еще контекст, который меняет все. Мейсон понял, что, если задать в отношении a, b и c правильные вопросы, все становится намного глубже. Результатом этой необыкновенной идеи стала новая гипотеза теории чисел с далекоидущими последствиями. Будучи доказанной, она помогла бы математикам разобраться с множеством нерешенных на данный момент задач и найти более качественные и простые доказательства некоторых крупнейших теорем теории чисел. Речь идет о гипотезе ABC, в пользу которой говорит огромное количество численных свидетельств. Основана она на свободной аналогии между целыми числами и многочленами.
Евклид и Диофант знали рецепт для пифагоровых троек, который мы сегодня записываем в виде формулы (см. главу 6). Можно ли применить ту же уловку к другим уравнениям? В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма для степеней 3 и выше подобной формулы не существует. Мейсон применил аналогичные рассуждения к более простому уравнению
для трех многочленов. Вроде бы это чрезмерно, ведь все решения можно найти при помощи элементарной алгебры. Тем не менее главный результат элегантен и далеко не очевиден: если каждый многочлен имеет делитель, который представляет собой полный квадрат, куб или более высокую степень, то уравнение не имеет решений.
Теоремы о многочленах часто имеют аналоги среди теорем о целых числах. В частности, неприводимые многочлены соответствуют простым числам. Естественный аналог теоремы Мейсона о многочленах в области целых чисел выглядит так. Пусть a + b = c, где a, b и c — целые числа без общих делителей. Тогда простых делителей у каждого из чисел a, b и c меньше, чем различных простых делителей у числа abc. К несчастью, простые примеры показывают, что это неправда. В 1985 г. Дэвид Массер и Джозеф Эстерле модифицировали это утверждение и предложили вариант гипотезы, который не противоречит никаким известным примерам. Очень возможно, что их гипотеза ABC на данный момент является крупнейшей открытой проблемой в математике
{45}. Если бы завтра кто-то доказал гипотезу ABC, многие глубокие и сложные теоремы, доказанные в последние десятилетия с громадными усилиями, получили бы новые простые доказательства. Еще одним следствием стала бы гипотеза Маршалла Холла: разность между любым полным кубом и любым полным квадратом должна быть достаточно большой. Наконец, еще одно потенциальное приложение гипотезы ABC — задача Брокара, первая в этой главе. В 1993 г. Мариус Оверхольт доказал, что если гипотеза ABC верна, то уравнение Брокара имеет конечное число решений.
Одно из самых интересных следствий гипотезы ABC связано с гипотезой Морделла. Фальтингс доказал это достаточно хитрым способом, но его результат был бы более убедительным, если бы нам известна была еще одна вещь: предел размера решений. Тогда существовал бы алгоритм поиска их всех. В 1991 г. Ноам Элкис показал, что частный случай гипотезы ABC, в которой различные постоянные ограничены, подразумевает такое улучшение теоремы Фальтингса. Лоран Море-Бэйи показал, что обратное верно. Из достаточно серьезных ограничений на величину решений всего одного диофантова уравнения, y2 = x5 — x, следует полная гипотеза ABC. Вообще, гипотеза ABC, хотя и не так хорошо известна, как многие другие нерешенные задачи, безусловно, является одной из великих математических задач. Как сказали Гранвиль и Томас Такер, ее решение оказало бы «необычайное влияние на наши представления о теории чисел. Было бы здорово доказать или опровергнуть ее»
{46}.
Глоссарий
Алгебраическое целое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами и коэффициентом при наибольшей степени 1. К примеру, i√2, удовлетворяющее уравнению x² + 2 = 0.
Алгебраическое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами или эквивалентными рациональными коэффициентами. К примеру, i√2/3 удовлетворяет уравнению или эквивалентно 9x² + 2 = 0.
Алгебраическое многообразие. Множество в многомерном пространстве, определяемое системой алгебраических уравнений.
Алгоритм. Определенная процедура решения задачи, гарантированно приводящая к ответу.
Арифметическая прогрессия. Последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно предыдущему плюс некая постоянная величина, разность прогрессии. Пример такой последовательности: 2, 5, 8, 11, 14… с разностью 3.
Асимптотический. Две величины, определенные через одну переменную, асимптотически равны, если по мере произвольного роста переменной их отношение все сильнее приближается к 1.
Бозон Хиггса. Элементарная частица, существование которой объясняет, почему все частицы обладают массой. О его открытии на Большом адронном коллайдере было объявлено в июле 2012 г.
