Примечания книги Величайшие математические задачи. Автор книги Йен Стюарт

1

Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М.: Советское радио, 1970.

2

Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. — М.: АСТ, 2002.

3

Тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом в 2013 г. — Прим. ред.

4

Выражение pretty regular dodecahedrons в переводе с английского может означать как то, так и другое. — Прим. пер.

5

Имеется в виду, что если теорема Ферма доказана для показателя m, то она автоматически доказана и для любого показателя, кратного m. Таким образом, требуется доказать ее только для простых степеней, начиная от 3, и отдельно для показателя 4, поскольку для 2 она неверна. — Прим. пер.

6

Изотопы были открыты в 1906–1907 гг. при исследовании продуктов радиоактивного распада тяжелых элементов. Название «изотоп» было предложено в 1910 г. Фредериком Содди. Амедео Авогадро (1776–1856) ровно на 100 лет раньше, в 1811 г., предложил метод определения масс молекул исходя из пропорций, в которых вещества вступают в химические реакции. — Прим. пер.

1

Вот как выглядят на сегодняшний день проблемы Гильберта и их статус:

1. Континуум-гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. — ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.

2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.

3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.

4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.

5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950-е гг., в другой — Хидехико Ямабе.

6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.

7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.

8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета-функции лежат на критической линии. См. главу 9.

9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.

10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.

11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.

12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.

13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.

14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).

19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.

20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.

22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.

2

Алгоритм Агравала — Каяла — Саксены выглядит так:

• Если n представляет собой точную степень меньшего числа, выдаем СОСТАВНОЕ.

• Находим наименьшее r, такое, что наименьшая степень r, равная 1 по модулю n, больше или равна (log n)².

• Если какое-либо число, меньшее или равное r, имеет общий делитель с n, выдаем СОСТАВНОЕ.

• Если n меньше или равно r, выдаем ПРОСТОЕ.

• Для всех целых чисел a от 1 до определенного предела проверяем, совпадает ли многочлен (x + a)ⁿ с многочленом xⁿ + a по модулю n и по модулю x^r − 1. Если в обоих случаях ответ положительный, выдаем СОСТАВНОЕ.

• Выдаем ПРОСТОЕ.

3

Примером того, что я имею в виду, может служить формула, где квадратные скобки обозначают наибольшее целое число, меньшее или равное их содержимому. В 1947 г. У. Миллс доказал, что существует действительная константа A, такая, что для любого n вычисленное по этой формуле значение будет простым. Если считать гипотезу Римана верной, то минимальное значение A, удовлетворяющее условию, равно приблизительно 1,306. Однако эта константа определяется при помощи подходящей последовательности простых чисел, а формула — всего лишь символьный способ записи этой последовательности. Подобные формулы, включая некоторые из тех, что представляют все простые числа, представлены также на сайтах:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html;

http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes.

4

Если n — нечетное, то n − 3 четное, а если n больше 5, то n − 3 больше 2. Согласно первой гипотезе, n − 3 = p + q, так что n = p + q + 3.

5

Можно упомянуть в этом контексте выражение «квантовый скачок». В повседневной речи оно обычно означает какой-то гигантский шаг вперед или резкую перемену, как, например, открытие европейцами Америки. Однако в квантовой теории квантовый скачок настолько мал, что ни один известный инструмент не способен зарегистрировать его непосредственно; изменение при этом выражается 0,000…01 примерно с 40 нулями.

6

Нахождение конечного разбиения квадрата и собирания из этих частей круга известно как квадратура круга Тарского. Миклош Лацкович решил эту задачу в 1990 г. Его метод неконструктивен и использует теорему выбора, при этом число частей, на которые нужно делить квадрат, огромно — около 10⁵⁰.

7

Квадратриса Гиппия — это кривая, описываемая точкой пересечения вертикальной прямой, движущейся равномерно через прямоугольник, и прямой, которая равномерно поворачивается вокруг середины нижней стороны прямоугольника (см. рис. 52). Такое соотношение превращает любой вопрос о делении угла в вопрос о соответствующем делении отрезка. К примеру, чтобы разделить угол натрое, нужно всего лишь разделить натрое соответствующий отрезок прямой. См.: http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html.

8

Вот красноречивый пример. Геометрически если прямая пересекается с окружностью и не является касательной, то она имеет с окружностью ровно две общие точки. Возьмем прямую, параллельную горизонтальной оси, на расстоянии 1/2 над ней (см. рис. 53). Эта прямая описывается очень простым уравнением: y = 1/2. (При любом x мы имеем одно и то же значение y.) Если y = 1/2, то уравнение x² + y² = 1 превращается в x² + 1/4 = 1. Отсюда x² = 3/4, а Алгебра говорит, что прямая пересекает единичную окружность ровно в двух точках Это вполне согласуется с рис. 53 и чисто геометрическими соображениями.

9

Строго говоря, многочлен, о котором идет речь, должен иметь целые коэффициенты и быть несокращаемым (т. е. не являться произведением двух многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами). Степень многочлена, равная степени двойки, — необходимое, но не достаточное условие для существования построения при помощи циркуля и линейки. Если степень не равна степени двойки, построение существовать не может. Если равна, то для решения вопроса о его существовании необходим дальнейший анализ.

10

Обратное тоже верно: данные построения для правильных трех— и пятиугольников можно получить из построения 15-угольника. Идея в том, что 2/5 − 1/3 = 1/15. В отношении простых степеней есть один тонкий момент. Эти рассуждения не позволяют построить, скажем, девятиугольник, хотя построение для простых делителей числа (а именно треугольника) существует. Гаусс доказал, что для нечетных простых чисел, возведенных в степень больше 1, построение невозможно.

11

Чтобы разобраться в этом утверждении, разложим квадратный многочлен на линейные множители. Тогда x² − 1 = (x + 1) (x − 1), что равно нулю, если любой из множителей равен нулю, так что x = 1 или x = −1. Те же рассуждения можно применить к x² = xx: это равно нулю, если нулю равен один из множителей. В данном случае они совпадают, но наличие двух множителей x отличает этот случай от чего-нибудь вроде x (x − 1), где множитель x один. При ответе на вопрос о том, сколько решений имеет алгебраическое уравнение, подобную «множественность» лучше учитывать.

12

При n = 9 второй множитель будет

x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Но он и сам является составным: он равен

(x² + x + 1) (x⁶ + x³ + 1).

Гауссова характеристика чисел, допускающих построение, требует, чтобы степень каждого несократимого множителя была степенью 2. Но степень второго множителя — 6 — не является степенью 2.

13

Гаусс доказал, что 17-угольник можно построить, если вы умеете строить отрезки длиной

Поскольку квадратный корень всегда можно построить, это вполне эффективно решает задачу. Другие математики нашли более очевидные построения. Ульрих фон Гугенин опубликовал первое из них в 1803 г., а Г. Ричмонд в 1893 г. нашел более простое. На рис. 54 возьмем два перпендикулярных радиуса AOP₀ и BOC окружности. Пусть OJ = 1/4 OB, а угол OJE = 1/4 OJP₀. Найдем F, такое, что угол EJF равен 45°. Построим окружность с диаметром FP₀; она пересекается с OB в точке K. Проведем через K окружность с центром в точке E; она пересечет AP₀ в точках G и H. Построим в этих точках перпендикуляры к AP₀, назовем их HP₃ и GP₅. Тогда P₀, P₃, P₅ представляют собой соответственно нулевую, третью и пятую вершины правильного 17-угольника. Теперь несложно построить и остальные вершины.

14

Ф. Ришло опубликовал построение правильного 257-угольника в 1832 г. Йоханн Хермес посвятил десять лет жизни исследованию 65 537-угольника. Его неопубликованную работу можно найти в Университете Геттингена, но считается, что в ней есть ошибки.

15

Типичная цепная дробь выглядит примерно так:

Данная конкретная цепная дробь представляет собой начало дроби, представляющей число π.

16

Если границы могут быть по-настоящему сложными, не как на карте, а гораздо более извилистыми, то общую «границу» могут иметь сколько угодно стран. Этот неочевидный результат иллюстрирует конструкция, известная как «озера Вады».

17

До недавнего времени статья в Nature считалась последней публикацией, посвященной этой проблеме, почти за 100 лет, но историк математики Робин Уилсон отыскал более позднюю статью Кейли.

18

При работе в двойственной сети пусть F — число граней (включая одну большую грань, окружающую сеть целиком), E — число ребер, а V — число вершин. Можно считать, что каждая грань двойственной сети имеет по крайней мере три ребра — ведь если в ней есть грань только с двумя ребрами, то она соответствует «лишней» вершине первоначальной сети, в которой встречаются всего два ребра. Такую вершину можно удалить, а два ребра объединить в одно.

Каждое ребро граничит с двумя гранями, и каждая грань имеет по крайней мере три ребра, потому E ≥ 3F/2 или, что то же самое, 2E/3 ≥ F. Согласно уравнению Эйлера, F + V — E = 2, так что 2E/3 + V — E ≥ 2. Из этого следует, что 12 + 2E ≤ 6V.

Пусть V_m — это число вершин с m соседями. Тогда V = V₆ + V₇ + V₈ + …

Поскольку каждое ребро соединяет две вершины:

2E = 6V₆ + 7V₇ + 8V₆ + …

Подставив в неравенство, получаем:

12 + 6V₆ + 7V₇ + 8V₈ + … ≤ 6V₆ + 6V₇ + 6V₈ + …,

так что 12 + V₇ + 2V₈ + … ≤ 0,

что невозможно.

19

Термин «цепочка» здесь неточен, потому что предполагает линейную последовательность. Цепочка Кемпе может содержать петли и разветвляться.

20

Поскольку пространство бесконечно, шариков в нем тоже бесконечно много, так что общий объем и пространства, и шариков также бесконечен. Мы не можем определить плотность как ∞/∞, потому что эта величина математически не определена. Вместо этого мы последовательно рассматриваем все более крупные области пространства и берем верхний предел отношения областей, заполненных шариками.

21

Хейлс использовал несколько различных определений того, что я называю клеткой. Последнее — «звезда декомпозиции». В моем описании опущены некоторые принципиально важные отличия; так общая идея получается более понятной.

22

Пусть область представляет собой многоугольник, как на рис. 55. Для любой точки, не лежащей на линиях многоугольника, существует проходящая через нее прямая, которая выходит за пределы описывающей многоугольник окружности и не проходит ни через одну его вершину. (Вершин — конечное количество, а прямых — бесконечное, есть из чего выбрать.) Эта прямая пересекает многоугольник конечное число раз, причем число это либо четное, либо нечетное. Определим, что внутренняя часть состоит из точек, для которых это число нечетное, а внешняя — из точек, для которых оно четное. Без труда доказывается, что каждая из этих областей является связной, а многоугольник их разделяет (см. рис. 55).

23

Расширим это загадочное замечание: вот формула

где арксинус (arcsin или sin⁻¹) представляет собой функцию, обратную синусу. Иными словами, если y = sin x, то x = arcsin y.

24

К примеру, пусть k — любое комплексное число. Рассмотрим интеграл

Это функция, обратная эллиптической функции, обозначаемой как sn. Такая функция существует для каждого значения k. Устроено все примерно так же, как в случае с sin и arcsin, но хитрее.

25

Один корень p-й степени из единицы равен комплексному числу

ζ = cos2π/p + i sin2π/p,

а остальные представляют собой его степени ζ², ζ³, … ζ^p−1. Чтобы понять почему, вспомните, что тригонометрические функции синус и косинус определяются через прямоугольный треугольник (см. рис. 56 слева). Обозначив стороны треугольника традиционными a, b, c, мы определяем синус и косинус угла A как sin A = a/c, cos A = b/c.

Если мы возьмем c = 1 и поместим этот треугольник на комплексную плоскость, как на рис. 56 справа, то вершина, в которой встречаются c и a, представляет собой точку

cos A + i sin A.

Несложно доказать, что для любых углов A и B

(cos A + i sin A) (cos B + i sin B) = cos (A + B) + i sin (A + B),

а это ведет непосредственно к формуле Муавра

(cos A + i sin A)ⁿ = (cos nA + i sin nA)

для любого натурального n. Поэтому

ζ^p = (cos 2π/p + i sin 2π/p)^p = cos 2π + i sin 2π = 1

для любой степени 1, где ζ, ζ², ζ³, …, ζ^p−1 есть корень p-й степени из единицы. На этом мы остановимся, поскольку ζ^p = 1 и, соответственно, для более высоких степеней новых чисел не появится.

26

Введем понятие нормы.

N(a + b√15) = a² − 15b²,

имеющее замечательное свойство

N(xy) = N(x)N(y).

Тогда

N(2) = 4N(5) = 25N(5 + √15) = 10N(5 — √15) = 10.

Любой собственный делитель любого из этих четырех чисел должен иметь норму 2 или 5 (собственные делители их норм). Но уравнения a² − 15b² = 2 и a² − 15b² = 5 не имеют целых решений. Следовательно, собственных делителей не существует.

27

А может быть, и нет. Владимир Кривченков установил, что энергия основного состояния и первых возбужденных состояний для квантовой задачи трех тел может быть рассчитана вручную. Но в классической механике аналогичная проблема оказывается менее решаемой из-за хаоса.

28

Более формально это называется временем Ляпунова.

29

Существует вариант, где 1/log t интегрируется от 2 до x, а не от 0 до x. Это помогает обойти технически сложный момент при t = 0, где log t не определен. Иногда для этого варианта используется обозначение Li(x), а определенная в тексте функция называется Li(x).

30

Это следует из занятной формулы Римана

где Г (s) — классическая функция, известная как гамма-функция и определенная для всех комплексных s. Правая ее сторона определена, когда действительная часть s больше 1.

31

Риман определил еще одну похожую функцию

которая подсчитывает скорее простые степени, чем простые числа. Из этого можно восстановить π(x). Затем он доказал точную формулу для этой модифицированной функции в терминах логарифмических интегралов и связанного интеграла:

Здесь Σ — сумма по всем значениям ρ, при которых ζ (ρ) равна 0, исключая отрицательные целые числа.

32

К примеру, асимптотична √x: их отношение равно

(x+ √x)/x=1+1/√x.

С ростом x растет и √x, так что 1/√x стремится к 0, а отношение стремится к 1. Но разность составляет √x и становится все больше с ростом x. К примеру, когда x равен 1 трлн, √x равен 1 млн.

33

Постоянная Эйлера — это предел при n, стремящемся к бесконечности выражения

34

Единичная трехмерная сфера содержит все точки с координатами (x, y, z, w), такими, что x² + y² + z² + w² = 1. Есть несколько способов сделать трехмерную сферу более интуитивно понятной. Ее можно рассматривать по аналогии с двумерной сферой и проверять посредством координатной геометрии. Одно такое описание («заполненный шар, все точки поверхности которого тождественны между собой») дано в тексте, а на рис. 57 можно увидеть еще одно. Чтобы установить аналогию, заметим, что при разрезании двумерной сферы вдоль экватора мы получаем две полусферы. Каждая из них непрерывно преобразуется в плоский диск. Чтобы восстановить двумерную сферу, мы просто отождествляем соответствующие точки на границах этих двух дисков. В каком-то смысле мы изготовили карту двумерной сферы из двух плоских дисков, так же как картографы создают плоские проекции нашей круглой планеты. Трехмерную сферу можно построить при помощи аналогичной процедуры. Возьмем два заполненных шара и отождествим между собой соответствующие точки их поверхностей. Теперь оба они имеют одну и ту же поверхность (ведь мы их отождествили), и эта поверхность представляет собой двумерную сферу. Она образует «экватор» трехмерной сферы.

35

Традиционно считается, что мы говорим о сложении и используем обозначение a + b, когда коммутативный закон соблюдается, но говорим об умножении и используем обозначение ab, когда он может и не соблюдаться. Здесь, однако, я не следовал этому принципу, поскольку эта книга — не учебник по теории групп, а термин «сложение» представляется более естественным.

36

Начнем счет с нуля. Всякий раз, проходя остановку на пути против часовой стрелки, увеличиваем счет на 1; проходя ее против часовой стрелки, уменьшаем на 1. В конце поездки добавляем 1, если приехали против часовой стрелки, и вычитаем 1, если приехали по часовой стрелке. Окончательный результат подсчета скажет вам, сколько раз вы обогнули окружность в общем направлении против часовой стрелки.

37

Формула Стирлинга утверждает, что n! приблизительно равно √(2πn)(n/e)ⁿ.

38

Леонардо нашел семейство решений

где m, n — нечетные числа. Роль d здесь выполняется числом mn (m² — n²2), а x равен m² + n²2/2. Выбор m = 5, n = 4 ведет к тому, что mn (m² — n²) = 720. Более того, 720 = 5 × 12². Разделив x на 12, получим ответ.

39

Если x — n, x и x + n представляют собой квадраты, то их произведение тоже квадрат и равно x³ — n²x. Следовательно, уравнение y² = x³ — n²x имеет рациональное решение. Более того, y не равен нулю, в противном случае x = n, т. е. x и 2x — квадраты, что невозможно, поскольку число √2 иррационально.

Напротив, если x и y удовлетворяют кубическому уравнению и y не равен 0, то a = (x² — n²)/y, b = 2nx/y и c = (x² + n²)/y удовлетворяют уравнениям a² + b² = c² и ab/2 = n.

40

Иными словами:

где r — ранг, C — константа, а знак ≈ означает, что отношение двух частей этого выражения стремится к 1 при x, стремящемся к бесконечности.

41

Наиболее вероятная причина заключается в том, что существуют естественные варианты перевода с соответствующих языков, которыми пользуются лучшие математики обеих областей.

42

Я не знаю, почему b — не число бананов. Возможно, потому, что в послевоенной Британии бананы были экзотикой и в продаже попадались редко.

43

Отсюда известная математическая шутка. Биолог, статистик и математик сидели на открытой площадке кафе и наблюдали за тем, что происходит вокруг. Вот в дом напротив зашли мужчина и женщина, а через 10 минут вышли снова уже с ребенком. «Они размножились», — заметил биолог. «Нет, — возразил статистик. — Это ошибка наблюдения. В среднем и туда, и обратно прошли два с половиной человека». «Нет, нет, нет, — сказал математик. — Все совершенно очевидно. Если теперь в здание кто-то войдет, оно станет пустым».

44

Может быть, Бор здесь попал в точку. Научные теории проверяются через предсказания, но мало какие из них способны предсказать будущее. Большинство ограничивается утверждениями вида «если, то»: если пропустить свет сквозь призму, то он расщепится на отдельные цвета. Это «предсказание» ничего не говорит о том, когда это произойдет. Поэтому, как ни парадоксально, мы можем предсказывать погоду, не предсказывая ее. «Если теплый воздух циклона встретится с холодным воздухом, пойдет снег». Это, конечно, научное предсказание, но отнюдь не прогноз погоды.

45

Гипотеза ABC гласит: для любого ε > 0 существует постоянная kε>0, такая, что если a, b и c — положительные целые числа, не имеющие общих делителей больших 1, и a + b = c, то c ≤ kεP¹⁺ε, где P — результат перемножения всех различных простых делителей abc.

46

В сентябре 2012 г. Синъити Мотидзуки объявил, что ему удалось доказать гипотезу ABC при помощи кардинально нового подхода к основным положениям алгебраической геометрии. Специалисты проверяют его 500-страничное доказательство, но это может занять довольно много времени.