Сказанное верно в арифметике, хотя даже там приходится быть внимательным, чтобы не сосчитать одно и то же яблоко дважды, а в алгебре это уже неверно. Там вы можете складывать яблоки с апельсинами, не смешивая их. Более того, в высшей математике принято складывать вещи, которые никто в здравом уме и выдумывать-то не стал бы, не то что складывать. Свобода заниматься подобными вещами оказывается поразительно полезной и важной, и придумавшие их математики вовсе не были сумасшедшими, по крайней мере в этом отношении.
Для понимания некоторых идей, связанных с гипотезой Ходжа, мы должны иметь возможность складывать яблоки и апельсины, не записывая их все в обычные фрукты. Делать это на самом деле несложно. Сложно признать, что в этом занятии есть какой-то смысл. Многим из нас доводилось встречаться с подобными концептуальными блоками. Моя учительница рассказывала классу, что буквами обозначаются неизвестные числа, причем разные неизвестные числа обозначаются разными буквами. Если у вас есть a яблок и еще a яблок, то общее число яблок будет a + a = 2a. И это верно, сколько бы в реальности ни было яблок. Если вы возьмете 3a яблок и прибавите к ним еще 2a яблок, то всего получится 5a, сколько бы в реальности ни было яблок. Сам символ, как и то, что он представляет, вовсе не имеет значения: если бы вместо 3a яблок у вас было 3b апельсинов, к которым вы прибавляли бы 2b апельсинов, то результат был бы 5b
{42}. Но что произойдет, если у вас будет 3a яблок и 2b апельсинов? Что будет, если сложить 3a и 2b?
Вот и все. Эту сумму невозможно упростить и превратить в 5 чего-нибудь: по крайней мере нельзя без некоторых манипуляций с новой категорией — фруктами — и каких-то новых уравнений. Это лучшее, что можно получить: удовлетворитесь этим. Однако, начав с этого, вы вскоре сможете производить такие действия, как:
(3a + 2b) + (5a — b) = 8a + b
без всяких дополнительных рассуждений. И без новых видов фруктов.
Есть, правда, кое-какие оговорки. Я уже отметил, что при складывании яблока и яблока два яблока получится только в том случае, если первое яблоко не идентично второму. То же можно сказать и о более сложных комбинациях яблок и апельсинов. В алгебре считается, что для целей сложения все яблоки, о которых идет речь, различны между собой. Вообще-то принять такое условие часто имеет смысл даже в тех случаях, когда два яблока — или что мы там складываем — на самом деле могут оказаться идентичными. Одно яблоко плюс еще раз то же самое яблоко будет яблоко с кратностью два.
Привыкнув к этой идее, вы сможете пользоваться ею везде. Одна свинья плюс та же свинья получается свинья с кратностью два: свинья + свинья = 2 свиньи, что бы ни скрывалось на самом деле под словом «свинья». Свинья плюс корова будет свинья + корова. Треугольник плюс три круга будет треугольник + три круга. Суперпуперсфера плюс три гиперэллиптических квазикучи будет
суперпуперсфера + три гиперэллиптических квазикучи,
что бы все эти специальные термины ни означали (в данном случае ничего).
Можно даже разрешить отрицательные числа и говорить о вычитании 11 коров из трех свиней: 3 свиньи — 11 коров. Я понятия не имею, что представляют собой минус 11 коров, но я могу быть уверен, что если я прибавлю к ним шесть коров, то получу минус пять коров
{43}. Это формальная игра с символами, и никакая реалистичная интерпретация здесь не требуется, не нужна или — зачастую — невозможна. Можно разрешить действительные числа: π свиней минус √2 коров. Комплексные числа. Любые сколь угодно причудливые числа, которые взбредут в голову математику. Этой идее можно придать чуть больше лоска и респектабельности, если рассматривать числа как бирки, навешенные свиньям и коровам. Тогда π свиней минус √2 коров можно рассматривать как свинью с биркой π рядом с коровой с биркой — √2. Арифметика здесь применяется к биркам, а не к животным.
В гипотезе Ходжа тоже фигурирует подобная конструкция с дополнительными рюшечками и украшениями. Вместо животных в ней используются кривые, поверхности и их многомерные аналоги. Может показаться странным, но в результате получается не просто абстрактная чепуха, а глубокая связь между топологией, алгеброй, геометрией и анализом.
Чтобы привести в порядок математический аппарат гомологии, нам потребуется складывать петли, но не так, как мы делали это в фундаментальной группе, а так, как учила меня в свое время учительница. Мы будем просто записывать петли и ставить знак «+» между ними. Чтобы это имело смысл, мы будем работать не с отдельными петлями, а с конечными их наборами. Мы обозначим каждую петлю целым числом, которое будет соответствовать частоте встречаемости этой петли, и назовем такой набор циклом. Теперь наш муравей получает возможность складывать циклы. Для этого он должен объединить петли и сложить значения соответствующих маркеров. Результатом будет новый цикл. Возможно, рассказывая в главе 10 о путешествиях муравья, мне следовало взять мотоциклы, а не автобусы.
Когда мы занимались строительством фундаментальной группы, где «сложение» означает соединение петель концом к концу, там была одна техническая проблема. Добавление тривиальной петли к любой другой давало в результате не совсем ту же самую петлю, так что нулевая петля вела себя неправильно. Сложение прямой и обратной петель давало не совсем нулевую петлю, так что инверсия тоже работала некорректно. Чтобы решить эту проблему, решено было считать петли одинаковыми, если одну из них можно плавно преобразовать во вторую.
Для гомологии это вообще не проблема. Существует нулевой цикл (все маркеры нулевые), и для каждого цикла существует обратный к нему цикл (чтобы получить его, достаточно поменять знак у маркера цикла), поэтому мы имеем группу. Проблема в том, что это не та группа. Она ничего не говорит нам о топологии пространства. Чтобы разобраться в этом, мы воспользуемся аналогичной уловкой и более свободным подходом к тому, что считать нулем. Муравей режет пространство на треугольные заплатки, и граница каждой заплатки топологически достаточно тривиальна: ее можно свести в точку, просто сужая со всех сторон к середине. Таким образом, все граничные циклы должны быть эквивалентны нулевому циклу. Этот логический ход немного напоминает переход от обычных чисел к значениям по модулю (скажем, по модулю 12); мы делаем вид, что число 12 не имеет значения, и его можно назвать нулем. Здесь мы переводим циклы в плоскость гомологии, делая вид, что любые граничные циклы значения не имеют.
