При помощи тех же формул можно находить отдельные цифры числа π в арифметических операциях с основаниями 4, 8 и 16. Ни для каких других оснований ничего подобного не известно; в частности, мы не можем вычислять десятичные цифры по отдельности. Существуют ли в принципе такие формулы? До открытия формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа никому даже в голову не приходило, что можно это делать хотя бы в двоичной системе.
4. Загадки картографии. Теорема о четырех красках
Многие великие задачи уходят корнями в глубокие и сложные вопросы давних и хорошо известных областей математики. Это те случаи, когда серьезные препятствия вдруг возникают уже после того, как эта область была тщательно изучена. Они, как правило, имеют технический характер, и все заинтересованные лица заранее знают, что они очень сложны, — еще бы, ведь многие специалисты пытались одолеть их и потерпели неудачу. При этом для соответствующей области часто уже разработаны множество мощных методик и объемный математический аппарат, которым может воспользоваться всякий подготовленный человек, но при этом, если задача до сих пор не решена, значит, все очевидные способы воспользоваться этими методиками уже испробованы и не сработали. Так что для решения этой задачи нужно либо использовать испытанные инструменты каким-то другим способом, либо изобретать новые.
Бывало и так, и этак.
Но существуют великие задачи, у которых все иначе. Они появляются из ниоткуда — небрежный чертеж на песке, заметка на полях книги, мимолетная причуда. Их формулировки просты, но поскольку вокруг них нет обширного математического фона, то нет и традиционных методов и подходов к ним. Иногда проходит много лет, прежде чем становится ясен уровень сложности задачи: кажется, что должен существовать какой-то хитрый, но несложный трюк, при помощи которого ее можно решить, и что решение не займет и полстранички. Задача о четырех красках относится именно к этой категории. Прошло не одно десятилетие, прежде чем математики начали осознавать, насколько она сложна. Мало того, большую часть этого времени все думали, что она уже решена, причем именно на нескольких страничках. Вообще, задача казалась второстепенной, и мало кто принимал ее всерьез, а когда это все же происходило, то в существовавшем вроде бы решении обнаруживались изъяны. Окончательное решение устранило все недостатки, но к тому моменту дискуссия стала настолько сложной, что пришлось привлекать на помощь мощные компьютеры.
В конечном итоге оба типа задач, несмотря на разное происхождение, схожи тем, что решение тех и других невозможно без новых подходов. Несмотря на то что задачи первого типа коренятся в хорошо изученных областях математики, традиционных методов для их решения не хватает. А задачи второго типа не принадлежат ни к одной известной области — более того, стимулируют возникновение новых, — и поэтому традиционных методов, которые можно было бы к ним применить, просто не существует. В обоих случаях решение задачи требует изобретения новых методов и установления новых связей с существующим массивом математических знаний.
Происхождение задачи о четырех красках известно, и оно — не математическое. В 1852 г. молодой южноафриканский математик и ботаник Фрэнсис Гутри, готовившийся к получению ученой степени по юриспруденции, попытался раскрасить графства на карте Англии. Он хотел быть уверенным, что любые два смежных графства можно будет раскрасить в разные цвета, чтобы границы между ними были хорошо различимы. Гутри выяснил, что для выполнения задачи ему будет достаточно четырех различных цветов, и после некоторого количества экспериментов убедил себя в том, что это заявление будет верным для абсолютно любой карты. Говоря о «смежных» графствах, он имел в виду, что эти графства имеют общую границу ненулевой длины; если же два графства соприкасались в точке или, к примеру, в нескольких изолированных точках, их можно было при необходимости раскрасить в один и тот же цвет. Без этой оговорки число цветов может быть бесконечным, поскольку в одной точке может встретиться неограниченное число регионов (см. рис. 8 слева).
Заинтересовавшись, не является ли его вывод известной математической теоремой, Гутри задал этот вопрос своему брату Фредерику, изучавшему в то время математику под руководством известного, но эксцентричного ученого Огастеса де Моргана в Университетском колледже Лондона. Де Морган не знал ответа на этот вопрос, поэтому написал еще более известному математику — ирландцу сэру Уильяму Гамильтону:
«Один мой студент [позже выяснилось, что это был Фредерик Гутри] попросил меня сегодня объяснить один факт, про который мне ничего не было известно, — и я до сих пор не уверен, что это действительно факт. Он говорит, что если некая фигура разделена на части любым способом и ее части раскрашены по-разному, так что фигуры с общей границей в виде линии любой длины окрашены в разные цвета, то для этого может потребоваться четыре краски, но не больше… Вопрос: нельзя ли придумать случай для пяти или более красок… Что скажете? И был ли этот факт, если это правда, замечен ранее?»
Фредерик позже упоминал некое «доказательство», предложенное его братом, но говорил также, что основной идеей там был рисунок, примерно соответствующий рис. 8, а он доказывает лишь, что меньше, чем четырьмя красками, не обойдешься.
Ответ Гамильтона был краток: «Я вряд ли займусь в ближайшее время вашим “кватернионом” красок». В то время Гамильтон работал над алгебраической системой, которой суждено было на всю жизнь стать его пунктиком и любимым коньком. Это система, аналогичная комплексным числам, но включающая четыре типа чисел вместо двух (действительные и мнимые) в комплексной системе. Свои числа он называл «кватернионами». Предложенная им система до сих пор сохраняет свое значение в математике. Мало того, сегодня ее роль, вероятно, более важна, чем во времена Гамильтона. Но высот, о которых мечтал автор, она так и не достигла. Гамильтон просто пошутил в академическом стиле, употребив слово «кватернион» по отношению к четырем краскам. Долгое время действительно казалось, что между его системой и задачей о четырех красках нет никакой связи. Однако задачу можно переформулировать так, что она становится утверждением о кватернионах, так что Гамильтон, сам того не желая, попал в яблочко.
Де Морган, потерпев неудачу в поиске доказательства, рассказал о задаче всем своим знакомым математикам в надежде на то, что кто-нибудь сможет предложить полезную идею. В конце 1860-х гг. американский логик, математик и философ Чарльз Пирс заявил, что нашел решение задачи о четырех красках, а также ответы на аналогичные вопросы о картах на более сложных поверхностях. Предполагаемое доказательство так и не было опубликовано, но вряд ли доступные ему методы были адекватны задаче.
Хотя в задаче о четырех красках говорится вроде бы о картах, сама она не имеет применения в картографии. Практика раскраски карт отражает в основном политические различия, и если при этом соседние регионы должны иметь один цвет, то их и красят одинаково. Смысл этой задачи лежит в области чистой математики — новой области, которая тогда только начала развиваться — топологии. Это «геометрия на резиновом листе», в которой фигуры можно непрерывно деформировать любым способом. Но даже там задача о четырех красках не укладывалась в основное русло исследований, а представлялась всего лишь диковинкой.
