Этим студентом был Уильям Тёрстон – Билл для друзей и коллег. О нем ходят десятки похожих историй. У него было природное чутье на геометрию, особенно когда она становилась по-настоящему сложной. Развивающаяся в то время геометрия многих измерений – четырех, пяти, шести, да любого их количества, – давала широкий простор для проявления его поразительной способности переводить формальные задачи в зрительную форму и затем решать их. Он умел видеть за внешней сложностью простые фундаментальные принципы и раскрывать их. Он стал одним из ведущих топологов своего поколения и решил множество задач; кроме того, он предложил несколько собственных ключевых гипотез, устоявших даже перед его чудесным талантом. Билл Тёрстон – поистине значимая фигура современной теоретической математики, которая может служить достойным представителем этого экзотического вида.
* * *
По иронии судьбы у Тёрстона было плохое зрение. У него было врожденное косоглазие, и он не мог сфокусировать оба глаза на одном и том же близком объекте. Это мешало ему воспринимать глубину, так что он с трудом представлял форму трехмерной фигуры по ее двумерному изображению. Его мать Маргарет (урожденная Мартт) была искусной швеей и умела создавать узоры настолько сложные, что ни Тёрстон, ни его отец Пол не могли в них разобраться. Пол работал инженером-физиком в Bell Labs и любил создавать всевозможные гаджеты собственными руками. А однажды даже в собственных руках: он показал маленькому Биллу, как вскипятить воду голыми руками. (Воспользуйтесь вакуумным насосом, чтобы понизить температуру кипения воды и сделать ее чуть выше комнатной; затем суньте руки в воду, чтобы ее согреть.) Пытаясь побороть косоглазие Билла, Маргарет, когда Биллу было два года, часами рассматривала вместе с ним книги, полные цветных орнаментов. Вероятно, и любовь Тёрстона к узорам, и его мастерство уходят корнями в те ранние годы.
В раннем возрасте Билл Тёрстон получил необычное образование. Нью-Колледж во Флориде принимал небольшое число учащихся, отобранных за выдающиеся способности, и почти никак не ограничивал ни их занятия, ни даже место жительства. Иногда Тёрстон по несколько дней жил в палатке в лесу; иногда, обманув охранника, ночевал в здании школы. Через полтора года школа едва не закрылась, когда половина ее учителей одновременно решила уволиться. Его дни в Университете в Беркли текли несколько более организованно, но время тогда само по себе было бурным: студенты активно протестовали против войны во Вьетнаме. Тёрстон стал членом комитета, который пытался убедить математиков не принимать финансирование от военных. К тому моменту он был женат на Рэчел Файндли, у них родился первенец. Ребенок, как говорила Рэчел, был рожден отчасти для того, чтобы Тёрстона не призвали в армию. Роды начались в день, когда Тёрстон должен был защищать диссертацию на докторскую степень, и его выступление получилось несколько сумбурным – однако, как всегда, оригинальным. Темой его диссертации стали некоторые особые задачи по популярной на тот момент теме расслоений, при которых многомерное пространство (или многообразие) разбивается на плотно прилегающие друг к другу «листы», как книга разделяется на листы, но с меньшей регулярностью их расположения. Эта тема связана с топологическим подходом к динамическим системам. В диссертации содержится несколько важных результатов, но она так и не была опубликована. Расслоения стали для Тёрстона первой серьезной темой исследования, и он продолжил работу над ними в Институте высших исследований в Принстоне в 1972–1973 гг. и в Массачусетском технологическом в 1973–1974 гг. Мало того, он решил так много фундаментальных задач этой области, что в конечном итоге, с точки зрения других математиков, он, по существу, закрыл тему.
* * *
В 1974 г. Тёрстон стал профессором Принстонского университета (не путать с Институтом высших исследований, в котором не учат студентов). Несколько лет спустя фокус его исследований переместился в одну из самых сложных областей топологии – к исследованию трехмерных многообразий. Эти пространства аналогичны поверхностям, но имеют одно дополнительное измерение. Их исследование начал более 100 лет назад Пуанкаре (глава 18), но, пока в дело не вступил Тёрстон, они ставили всех в тупик. Топология многообразий высоких размерностей достаточно любопытна. Простейшие размерности – один (это тривиально) и два (это поверхности, и решается все классически). Следующими по простоте оказались размерности пять и выше – в основном потому, что в пространствах высоких размерностей хватает простора для сложных маневров. Но даже в этом случае задачи сложны. Еще сложнее четырехмерные многообразия, а самые сложные – трехмерные многообразия; места в них достаточно для громадной сложности, но не хватает для упрощения сколько-нибудь простым и понятным способом.
Стандартный способ построения n-мерного многообразия – взять небольшие кусочки n-мерного пространства и сформулировать правила, по которым их надлежит склеивать. Концептуально, а не на самом деле. В главе 18 мы видели, как работает этот подход для поверхностей и трехмерных многообразий. Мы также встречали уже фундаментальный вопрос топологии трехмерных многообразий – гипотезу Пуанкаре. В ней трехмерная сфера характеризуется при помощи простого топологического свойства: любые петли на ней без помех сжимаются в точку. Стандартный способ подвести слушателей к подобному вопросу состоит в том, чтобы обобщить его на аналоги с бо́льшим числом измерений. Иногда более общий вопрос оказывается и более простым; тогда вы заодно получаете и решение частного случая, с которого все началось. Первоначально прогресс выглядел обнадеживающе. В 1961 г. Стивен Смейл доказал гипотезу Пуанкаре для всех размерностей, больших или равных 7. Затем Джон Столлингс разобрался с размерностью 6, а Кристофер Зееман – с размерностью 5. Их методы не сработали для размерностей 3 и 4, и топологи начали задумываться: не может ли оказаться, что эти размерности ведут себя иначе? Затем, в 1982 г., Майкл Фридман нашел чрезвычайно сложное доказательство четырехмерной гипотезы Пуанкаре с использованием радикально иных методов. На этом этапе гипотеза Пуанкаре оказалась доказана для всех размерностей, за исключением лишь одной, к которой изначально относился заданный Пуанкаре вопрос. Но методы топологов не пролили никакого света на этот последний оставшийся случай.
И тут на сцене появляется Тёрстон и переворачивает ситуацию с ног на голову.
Топология – это геометрия резинового листа, и вопрос Пуанкаре был топологическим. Естественно, все пытались искать ответ на него топологическими методами. Тёрстон же выбросил пресловутый резиновый лист и подумал: а не геометрической ли на самом деле является эта задача? Он не решил ее, но через несколько лет его идеи вдохновили молодого российского математика Григория Перельмана на ее решение.
Вспомним (глава 11), что существует три вида геометрии: Евклидова, эллиптическая и гиперболическая. Это геометрии пространств с нулевой, постоянной положительной и постоянной отрицательной кривизной соответственно. Тёрстон начал с любопытного факта, который кажется почти случайным. Он заново вспомнил классификацию поверхностей – сфера, тор, 2-тор, 3-тор и т. д., как в главе 18, – и задался вопросом: какие типы геометрии здесь встречаются? Сфера имеет постоянную положительную кривизну, так что ее естественная геометрия – эллиптическая. Одна из реализаций тора – плоский тор – представляет собой квадрат, противоположные стороны которого отождествляются. Квадрат – плоский объект на плоскости, так что его естественная геометрия – Евклидова, а правила склеивания придают плоскому тору тот же самый тип геометрии, каким обладает квадрат. Наконец, хотя это и не так очевидно, естественной геометрией любого тора с двумя или более отверстиями является гиперболическая геометрия. Как-то так получается, что гибкая топология поверхностей сводится к жесткой геометрии – и при этом возникает все три возможных варианта.
