По мере того как математика становится более разнообразной, то же происходит и с нашим повествованием, прорубающим путь в новые области все расширяющихся джунглей. Бернард Риман блестяще умел вскрывать простые общие идеи, стоящие за сложными на первый взгляд концепциями. Ему мы обязаны, в частности, некоторыми фундаментальными понятиями геометрии, в первую очередь искривленными «многообразиями», на которых построена революционная теория гравитации – общая теория относительности Альберта Эйнштейна. Но помимо этого он сумел сделать гигантский шаг вперед в теории простых чисел, связав при помощи своей «дзета-функции» теорию чисел и комплексный анализ. Гипотеза Римана о нулях этой функции – одна из величайших и важнейших нерешенных задач во всей математике, и за ее решение объявлен приз в $1 млн.
Далее идет Георг Кантор, изменивший представления математиков об основах их собственной науки введением теории множеств и определивший бесконечные аналоги натуральных чисел 1, 2, 3, …, что привело к открытию того факта, что одни бесконечности могут быть больше других – в строгом, продуманном и полезном смысле. Как многих новаторов, Кантора при жизни не понимали и подвергали насмешкам.
Далее на сцене появляется наша вторая женщина-математик, невероятно талантливая Софья Ковалевская. Ее биография извилиста и тесно связана с русским революционным движением, а также осложнена препятствиями, которые всякое общество, где доминируют мужчины, ставит на пути блестящих женщин-интеллектуалок. Поразительно, что она вообще сумела чего-то добиться в математике. Мало того, ей принадлежат замечательные открытия в решении уравнений в частных производных, исследовании движения недеформируемого тела, структуры колец Сатурна и преломления света кристаллами.
Наша история набирает ход. На рубеже XIX–XX вв. одним из ведущих математиков мира был француз Анри Пуанкаре. Окружающие считали его эксцентричным, но на самом деле он был чрезвычайно проницателен. Пуанкаре одним из первых распознал значение новой, только что зародившейся математической области – топологии, или «геометрии резинового листа», в которой фигуры можно непрерывно деформировать, – и распространил ее с двух измерений на три и более. Он применил ее законы к дифференциальным уравнениям и исследовал задачу трех тел в Ньютоновом поле тяготения. Это привело его к открытию возможности детерминистического хаоса – случайного на первый взгляд поведения в детерминированных системах. Кроме того, он вплотную, еще до Эйнштейна, подошел к открытию специальной теории относительности.
В Германии во времена Пуанкаре мы видим Давида Гильберта, чья деятельность разделяется на пять отдельных периодов. Во-первых, он вслед за Булем занимался исследованием «инвариантов» – алгебраических выражений, которые сохраняют форму, несмотря на изменение координат. Затем Гильберт последовательно изложил основные положения теории чисел. После этого он вновь заглянул в Евклидовы аксиомы геометрии, нашел их недостаточными и добавил еще несколько, чтобы закрыть логические прорехи. Далее подался в математическую логику и запустил программу, целью которой было доказать, что под математику можно подвести аксиоматическую базу и что она будет непротиворечивой (то есть никакие логические рассуждения не приведут к противоречию) и полной (то есть любое утверждение в рамках этой системы может быть либо доказано, либо опровергнуто). Наконец, он обратился к математической физике, едва не обогнав Эйнштейна на пути к общей теории относительности, и ввел понятие Гильбертова пространства, центральное в квантовой механике.
Третья и последняя наша женщина-математик – Эмми Нётер, жившая в те времена, когда большинство облеченных властью мужчин все еще с неодобрением смотрело на участие женщин в академической деятельности. Начинала она, как и Гильберт, с теории инвариантов и позже много работала с ним бок о бок. Гильберт не раз со всей доступной энергией пытался пробить стеклянную стену непонимания и обеспечить Нётер постоянную академическую должность, но добился лишь частичного успеха. Нётер оставила яркий след в абстрактной алгебре, первой исследовав сегодняшние аксиоматические структуры, такие как группы, кольца и поля. Кроме того, она доказала важную теорему о симметрии законов физики по отношению к сохраняемым величинам, таким как энергия.
К этому моменту наше повествование перейдет уже в XX в. Чтобы показать, что великолепные математические способности присущи не только образованным классам западного мира, мы познакомимся с жизнью и деятельностью индийского гения-самоучки Сринивасы Рамануджана, выросшего в бедности. Состязаться с ним в способности интуитивно находить странные, но верные формулы могли разве что такие гиганты, как Эйлер и Карл Якоби, и то не факт. Представления Рамануджана о том, что такое доказательство, были довольно туманными, зато он умел находить такие формулы, которые никому другому и в голову бы не пришли. Ученые до сих пор роются в его бумагах и записных книжках в поисках вдохновения и свежего взгляда на вещи.
Два математика со склонностью к философии вернут нас к основам этой науки и к ее связям с вычислениями. Один из этих ученых – Курт Гёдель; он доказал, что любая система аксиом для арифметики обязательно будет неполна и неразрешима, и тем самым разрушил программу Гильберта, целью которой было доказать обратное. Второй – Алан Тьюринг, чье исследование возможностей программируемого компьютера позволило получить более простое и естественное доказательство этих результатов. Прославился он, конечно же, своей работой по разгадыванию нацистских шифров, которой он занимался в Блетчли-парке во время Второй мировой войны. Кроме того, он предложил известный тест Тьюринга для проверки искусственного интеллекта, а после войны исследовал закономерности в структурах живой природы. Он был нетрадиционной сексуальной ориентации и умер при трагических и загадочных обстоятельствах.
Я решил не включать в книгу никого из ныне живущих ученых, но закончить двумя недавно почившими современными математиками. Один из них занимался теоретической математикой, другой – прикладной (надо сказать, весьма оригинальной). Последний – Бенуа Мандельброт, широко известный своими работами по фракталам – геометрическим фигурам, которые имеют сложную структуру на любых масштабах увеличения. Фракталы часто отражают структуру природы намного лучше, чем традиционные гладкие поверхности вроде сфер и цилиндров. Хотя и до него несколько математиков работало со структурами, которые мы сегодня называем фракталами, именно Мандельброт сделал гигантский шаг вперед, первым распознав потенциал фракталов в моделировании природного мира. Он не принадлежал к тем математикам, все внимание которых сосредоточено на теоремах и доказательствах; напротив, отличался интуитивным визуальным восприятием геометрии, что позволяло ему видеть взаимоотношения и строить догадки. Кроме того, он был в некотором смысле шоуменом и энергично продвигал собственные идеи. Это не добавляло ему привлекательности в глазах части математического сообщества, но всем не угодишь.
Наконец, я выбрал рафинированного – этакого математика-математика – Уильяма Тёрстона. Тёрстон тоже обладал глубоким интуитивным пониманием геометрии, в более широком и глубоком смысле, нежели Мандельброт. Математика теорем и доказательств давалась ему на уровне лучших представителей профессионального сообщества, однако чем дальше, тем больше он сосредоточивался на теоремах и опускал доказательства. В частности, он работал в области топологии, где отметил неожиданную связь с неевклидовой геометрией. В конечном итоге именно этот круг идей побудил Григория Перельмана доказать неуловимую гипотезу из области топологии, выдвинутую Пуанкаре. Методы Перельмана позволили доказать также более общую гипотезу Тёрстона, которая проливает неожиданный свет на все трехмерные многообразия.
