Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире, страница 52. Автор книги Бен Орлин

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Время переменных. Математический анализ в безумном мире»

Cтраница 52

Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Вот мы и оказались на пороге противоречия. У трубы Гавриила есть конечный объем, то есть вы вольны заполнить ее краской, вы это можете. Тем не менее у нее нет конечной площади поверхности: при всем желании у вас не получится ее покрасить.

Но… если вы наполните ее краской, не будет ли это значить, что каждая точка поверхности окрашена?

Как и то и другое одновременно может быть правильным?


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Первым, кто исследовал эту парадоксальную фигуру, был итальянский математик XVII в. Эванджелиста Торричелли. Вместе со своими приятелями Галилеем и Кавальери он прокладывал «королевскую дорогу через математические чащи», используя новомодную на тот момент математику бесконечно малых величин. «Очевидно, – писал Кавальери, – что плоские фигуры должны пониматься как куски, сплетенные из параллельных линий, а объемные тела – как книги, состоящие из параллельных страниц».

Эти ученые были поглощены бесконечными суммами, бесконечно тонкими элементами и странными объектами, такими как труба Гавриила, которая также известна как «труба Торричелли».

Это был математический анализ, выбирающийся из своей колыбели.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

В то время орден иезуитов создал достойную восхищения систему университетов по всей Европе. Это были не просто хорошие учебные заведения, это были католические школы. «Для нас, – сказал один из лидеров ордена, – уроки и научные занятия – это нечто вроде крюка, на который мы будем ловить души». В этой учебной программе математика играла главную роль. «Без сомнений, – заявил один из иезуитов по имени Клавий [61], – математические дисциплины занимают среди всех остальных первое место».

Но не просто любая математика: она должна была быть евклидовой. Евклидова геометрия развилась с помощью четкой логики от самоочевидных предположений до нерушимых заключений без единого сбоя или парадокса. «Теоремы Евклида, – говорил Клавий, – сохраняют… свою истинную чистоту и неоспоримую несомненность». Иезуиты видели у Евклида модель самого общества, где власть папы является неопровержимой аксиомой.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Что касается работы Торричелли, иезуиты не относились к числу его фанатов. Историк Амир Александер в своей книге «Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала мир» (Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the World) объясняет: «Тогда как евклидова геометрия являлась строгой, чистой и неопровержимо верной, новые методы были наполнены парадоксами и противоречиями и с равной вероятностью вели как к ошибке, так и к истине». Иезуиты считали трубу Гавриила анархистской пропагандой, угрозой порядку. «У них была тоталитарная мечта о неопровержимой истине и цели, которая не оставляла места сомнениям и спорам», – говорит Александер. Как подытожил Игнатий [62], еще один иезуит того времени: «То, что кажется нам белым, черно, если так говорит Церковь».

Таким образом, папа запретил бесконечно малые. Торричелли стал математическим преступником, а труба Гавриила – интеллектуальной контрабандой.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Ирония в том, что этот парадокс не так уж трудно разрешить. Как труба Гавриила может иметь внутреннюю часть, которую можно наполнить краской, и внешнюю часть, которую нельзя покрасить? Все это зависит от того, как мы думаем об этом процессе.

Как объясняет математик Роберт Гетнер, парадокс строится на предположении о том, что «площадь поверхности» соответствует тому, что нужно покрасить. Но окрашивание не является двумерным. «Если мы планируем покрасить комнату, – пишет он, – мы не будем просить 1000 квадратных метров краски». Как и бумага, окраска трехмерна. У слоя краски есть толщина, пусть и очень маленькая.

Поэтому первый подход: позволить толщине слоя краски постепенно исчезать, становиться все тоньше и тоньше вместе с трубой Гавриила. Пользуясь этим предположением, возможно покрыть поверхность конечным количеством краски. Парадокс разрешен.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Или, если хотите, вы можете выбрать другой подход. Предположим, что для слоя краски нужна некоторая минимальная толщина. (Это больше похоже на окрашивание в физическом мире; например, краска не может лечь слоем толщиной в Время переменных. Математический анализ в безумном мире от размера атома.) Таким образом, двигаясь вниз по оси, труба истончается до субатомных масштабов, но со слоем краски этого не происходит. В конце концов он станет в миллиарды раз толще окрашиваемого предмета. Это возвращает нас к нашему первоначальному выводу, что трубу невозможно покрасить. Только теперь еще и невозможно наполнить ее краской, потому что в определенный момент она становится тоньше, чем самая маленькая частица краски.

Если следовать этому предположению, то трубу невозможно ни окрасить, ни наполнить краской. И снова парадокс разрешен.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Я не могу однозначно сказать, совершили ли иезуиты начала XVII в. религиозную ошибку. Но я полагаю, что с математикой они ошиблись. Парадокс – это не то, чего следует бояться, и не то, что нужно истреблять. Это повод поразмыслить, приглашение к изучению.

Парадоксы произрастают не только в отдающих плесенью закоулках теологии и математики, но также, по словам профессора в области предпринимательства Марианны Льюис, и в корпоративной обстановке. Элементы, которые «кажутся вполне логичным, если рассматривать их отдельно» – краткосрочные цели, долгосрочный прогноз, стратегический приоритет, – становятся «иррациональными, противоречивыми и даже абсурдными, если совместить их». Это не обязательно плохо. «Парадоксы дают пищу способности к творчеству, – пишет Льюис. – Понимание парадокса может содержать ключ к тому, как справиться со стратегическими затруднениями и даже стать лучше, столкнувшись с ними». Парадокс – это песчинка, которая помогает создать жемчужину теории.

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация