Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире, страница 17. Автор книги Бен Орлин

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Время переменных. Математический анализ в безумном мире»

Cтраница 17

Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Броун был не первым, кто обнаружил это явление. Поколением раньше ученый по имени Ян Ингенхауз заметил, что частицы угля трепыхаются в алкоголе. Почти за 2000 лет до этого римский поэт Лукреций писал о пыли, дрожащей в луче света. Это древний вездесущий танец.

Так что же он собой представляет?

Итак, весь мир состоит из атомов. Они находятся в постоянном движении. Без электронного микроскопа атомы мы увидеть не можем, но можем заметить более крупные частицы, которые атомы все время бомбардируют, – частицы, такие как пыль со сфинкса и пыльца цветов. Представьте себе огромный шар в парке Дисней Эпкот [21], который непрерывно бомбардируют миллиарды невидимых маленьких шариков, и вы уловите эту идею.

В любой отдельно взятый момент совершенно случайный удар с одной стороны немного перевешивает удар с противоположной. Это вызывает отклонение частицы в одном направлении. В следующий момент схема меняется и частица движется в другом направлении.

Это продолжается вечность, момент за моментом, мгновение за мгновением.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Джига частиц, получившая название «броуновское движение», приводит в замешательство. Это движение частиц беспорядочно, то есть частицы не отдают предпочтения каким-либо направлениям. Оно непредсказуемо, иначе говоря, прошлые движения не дают никакой подсказки, в каком направлении частица будет двигаться в дальнейшем. Но, возможно, самое необычное из всего – это характер изменения направления.

Эти изменения в нашей математической модели являются недифференцируемыми.

Термин требует дополнительных разъяснений, поэтому представьте себя бейсбольным мячом. Я бросаю вас в воздух со скоростью 25 м/с. Предположим, вы простили мое агрессивное поведение, и мы вместе задаемся вопросом, что же происходит после этого. Вы пронзите атмосферу и отправитесь в долгое одинокое странствие среди звезд?

Боюсь, что нет, мой простроченный красными нитками друг! Вы житель Земли, попавший в гравитационную ловушку планеты. Поэтому через секунду вы замедлитесь до 15 м/с. Еще через секунду ваша скорость упадет до 5 м/с. А через следующую половину секунды вы замедлитесь еще сильнее, пока, наконец, не измените направление и не начнете падать с ускорением в направлении земли.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

В верхней точке траектории нас ждет необычный и удивительный момент, когда вы уже перестали подниматься, но еще не начали падать. В этот краткий «чих» времени вы лишены движения, «путешествуете» со скоростью ноль метров в секунду.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

А что, если мы снабдим вас ракетными ускорителями? Если когда-то вы были всего лишь просто шаром из воловьей кожи, то теперь стали оснащенным реактивным двигателем шаром из воловьей кожи. С помощью реактивной тяги вы взмываете вверх, а потом несетесь вниз. Не является ли это другим видом перемены направления?


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

На самом деле нет. Разумеется, то, что когда-то занимало целую секунду, теперь происходит за какие-то ее доли, но общая схема сохраняется. После того как ваше движение вверх замедлилось, и до того, как началось движение вниз, существует единственный момент смены направления, когда ваша мгновенная скорость равна нулю.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Только если очень напрячь свое математическое воображение, мы можем представить другой вариант развития событий, скажем, такой:


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире
Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация