119. ПАНЦИФРОВОЕ СТОЛПОТВОРЕНИЕ
Количество возможных комбинаций десяти цифр составляет 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800. Каждая из этих комбинаций представляет собой панцифровое число, за исключением тех, что начинаются с цифры 0, поскольку панцифровое число не может начинаться с ноля. (Комбинации десяти цифр, в которых первую позицию занимает цифра 0, считаются девятизначными числами.) Таких комбинаций 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362 880. Следовательно, всего существует 3 628 800–362 880 = 3 265 920 панцифровых чисел.
120. ПАНЦИФРОВОЕ И ПАНДЕЛИМОЕ ЧИСЛО
Мы будем перебирать цифры по одной и начнем с самого простого случая. Любое число, кратное 10, должно заканчиваться на 0, поэтому j = 0. Любое число, кратное 5, должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Следовательно, e = 5. При двух известных цифрах наше число – это abcd5fghi0.
Если то или иное число делится на четное число, то оно и само должно быть четным. А значит, b, d, f и h тоже должны быть четными. Таким образом, b, d, f и h могут иметь значения 2, 4, 6 и 8. Следовательно, оставшиеся неизвестные a, c, g и i должны представлять собой ту или иную комбинацию из оставшихся (нечетных) цифр 1, 3, 7 и 9.
Теперь применим признак делимости на 4. Комбинации цифр, в которых c нечетное, d четное (что известно из предыдущего абзаца), а cd делится на 4, – это 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 и 96. Следовательно, d – это либо 2, либо 6.
Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр тоже делится на 3. Это верно и наоборот: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Следовательно, a + b + c делится на 3.
Любое число, кратное 6, делится на 3, поэтому a + b + c + d + e + f также делится на 3.
Если два числа делятся на 3, то разность между большим и меньшим числом тоже делится на 3.
Таким образом, число a + b + c + d + e + f – (a + b + c) = d + e + f делится на 3.
Мы знаем, что d – это либо 2, либо 6; и нам известно, что e = 5, а также что f – это 2, 4, 6 или 8.
Если d – это 2, то число 2 + 5 + f должно быть кратным 3. Следовательно, f должно иметь значение 8. (Это не может быть 2, поскольку d – это 2, а каждая цифра встречается в искомом числе только один раз. И это не может быть 4 или 6, так как числа 11 и 13 не делятся на 3.)
Если d – это 6, то число 6 + 5 + f должно быть кратным 3, а, согласно ходу наших рассуждений, f должно иметь значение 4.
Таким образом, у нас есть два возможных варианта для трех средних цифр: def – это либо 258, либо 654. Проверим каждый из них.
[1] def – это 258.
Согласно признаку делимости на 8, если восьмизначное число abcdefgh делится на 8, то трехзначное число fgh тоже делится на 8. Следовательно, 8gh делится на 8.
В качестве g может выступать 1, 3, 7 или 9, а в качестве h – одна из оставшихся двух цифр, 4 или 6. Число 8g4 не делится на 8 при любом значении g, а значит, это должно быть 6. Мы уже использовали цифры 2, 6 и 8, в таком случае b, последняя четная цифра, – это 4.
Теперь искомое число выглядит так: a4c258g6i0.
Любое число, кратное 9, также должно делиться на 3. Следовательно, a + 4 + c + 2 + 5 + 8 + g + 6 + i делится на 3. Поскольку любое число, кратное 6, делится и на 3, a + 4 + c + 2 + 5 + 8 тоже делится на 3. Как мы определили, если два числа делятся на 3, разность между большим и меньшим числом тоже должна делиться на 3. Стало быть, g + 6 + i должно быть кратным 3.
Итак, g + i должно быть кратным 3. Мы должны выбрать значения g и i из 1, 3, 7 и 9, а значит, g и i – это либо 3, либо 9. Следовательно, a и c – это либо 1, либо 7. Таким образом, у нас есть четыре возможных варианта искомого числа при таких значениях a, c, g и i:
1, 7, 3, 9 (при таких значениях искомое число – 1 472 583 690);
7, 1, 3, 9 (при таких значениях искомое число – 7 412 583 690);
1, 7, 9, 3 (при таких значениях искомое число – 1 472 589 630);
7, 1, 9, 3 (при таких значениях искомое число – 7 412 589 630).
Возьмите калькулятор и проверьте, соответствуют ли эти числа условиям, сформулированным в задаче.
Число 1 472 583 690 не подходит, потому что 14 725 836 не делится на 8.
Число 7 412 583 690 не подходит, потому что 7 412 583 не делится на 7.
Число 1 472 589 630 не подходит, потому что 1 472 589 не делится на 7.
Число 7 412 589 630 не подходит, потому что 7 412 589 не делится на 7.
Мы зашли в тупик. Этот вариант не верен, и мы можем сделать вывод, что def – это не 258.
[2] def – это 654.
Согласно признаку делимости на 8, если восьмизначное число abcdefgh делится на 8, то трехзначное число fgh также делится на 8. Следовательно, 4gh делится на 8.
Поскольку 4gh = 400 + gh, а число 400 кратное 8, gh кратно 8.
В качестве g может выступать 1, 3, 7 или 9, а в качестве h – одна из оставшихся двух цифр – 2 или 8. Число gh не делится на 8, если h – это 8, а значит, h должно иметь значение 2. Следовательно, b должно иметь значение 8.
Теперь искомое число выглядит так: a8c654g2i0.
Любое число, кратное 9, делится на 3. Таким образом, a + 8 + c + 6 + 5 + 4 + g + 6 + i делится на 3, а, согласно ходу наших рассуждений, нам известно, что g + 2 + i должно быть кратным 3, где i и g могут иметь одно из значений 1, 3, 7 или 9.
Таким образом, значения g и i должны представлять собой один из следующих вариантов:
1 и 3
3 и 1
1 и 9
9 и 1
3 и 7
7 и 3
7 и 9
9 и 7
Рассмотрим все эти варианты и с помощью калькулятора проверим, соответствуют ли они условиям задачи.
