Сэм Лойд одним из первых изобрел головоломки, в которых буквы обозначают числа. Его задача об универсальном магазине выглядит следующим образом:
Используйте десять букв словосочетания PEACH BLOWS (разновидность картофеля) в качестве ключа, который указывает на десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Иными словами, P – это 1, E – 2, A – 3, C – 4, H – 5 и т. д. Таким образом, слово CHESS превращается в 45 200, а слово CASH – в 4305. Если приведенный выше список из 15 слов представить как сумму чисел, обозначающих эти слова, то правильным ответом будет сумма в виде слова ALLWOOL, или 3 779 887.
Головоломка Лойда хоть и хорошо продумана, но несколько запутанная: в ней слишком много чисел для того, чтобы воспринимать ее как развлечение. Впрочем, Генри Дьюдени усовершенствовал формат задач, в которых осмысленные фразы можно составить путем использования букв вместо цифр; в наше время они известны как альфаметика, криптарифма и вербальная арифметика.
В 1924 году Дьюдени опубликовал головоломку, которая до сих пор остается одной из лучших задач такого типа:
[35]
Для ее решения необходимо найти цифры, которые дают правильную сумму, – при условии, что каждая буква обозначает определенную цифру, а крайние буквы слева – не 0.
Лойд был на 16 лет старше Дьюдени. Он единственный современник математика из числа составителей головоломок, которого можно поставить с ним в один ряд по количеству работ и их оригинальности. Эти двое вели переписку через Атлантический океан, однако, узнав, что Лойд выдает его головоломки за свои, Дьюдени разорвал дружеские отношения. Фактически в характерах этих двух людей выражался национальный стереотип: Лойд, невероятно энергичный человек – машина по производству головоломок, был предпринимателем, патентовал свои лучшие идеи, предлагал денежные призы тем, кто решит ту или иную головоломку, и приукрашивал свою биографию ради укрепления репутации. Дьюдени же был ворчливым, курящим сигару провинциальным британцем.
Головоломка SEND MORE MONEY настолько хорошо известна, что я предлагаю ее здесь в качестве утешительного приза. Вот с чего следует начинать ее решать. Буква М должна обозначать 1, поскольку при сложении двух четырехзначных чисел образуется пятизначное число, и оно может начинаться только с цифры 1. Далее возьмем самое большое четырехзначное число – 9999. Если сложить его с самим собой, то получится 19 998, которое начинается с 1. Следовательно, сумма двух четырехзначных чисел не может начинаться с цифры 2 или больше.
Для того чтобы S + 1 = 1O (где O – это заглавная буква «о», а не ноль), необходимо, чтобы S = 9 или S = 8 и чтобы был перенос 1 из разряда сотен. Предположим, S = 8 и есть перенос; следовательно, О заглавная будет иметь значение 0. Теперь сумма выглядит так:
Для ясности я поставил знак переноса рядом с цифрой 8. Если эта сумма правильная, то столбец, соответствующий разряду сотен, говорит нам, что либо E + 0 = 10 + N, либо есть перенос из разряда десятков и 1 + E + 0 = 10 + N. (В этих уравнениях 10 представляет собой перенос в разряд тысяч.) Первый из вариантов означает, что разность между E и N равна 10, что невозможно, поскольку значения E и N меньше 10. Второй вариант также невозможен, потому что в этом случае E – N = 9. Это верно при единственных двух значениях: E = 9 и N = 0. Однако О заглавная уже имеет значение 0, а две разные буквы не могут быть одной и той же цифрой. Следовательно, S = 9, а оставшуюся часть решения я предлагаю вам найти самостоятельно. (Ответ можно посмотреть во второй части книги.)
Существует множество замечательных арифметических головоломок, но представленная ниже – одна из моих любимых, поскольку в ней зашифрована почти точная цитата из трагедии Шекспира «Макбет». Отсутствует только слово and, разделяющее слова toil и trouble
[36]. Хотя, если правильно поставить знак сложения…
115. ТРИ ВЕДЬМЫ
Найдите цифры, при которых следующая сумма правильна.
А вот еще одна головоломка с интереснейшим поворотом из разряда альфаметики.
116. ЧЕТ И НЕЧЕТ
В операции умножения в столбик на рисунке каждая буква E (even) – четная цифра, а каждая буква O (odd) – нечетная. Другими словами, каждая буква E может обозначать 0, 2, 4, 6 или 8, а каждая буква O – 1, 3, 5, 7 или 9. Если две цифры представлены буквами E, это не означает, что они обязательно должны быть одинаковыми, хотя в некоторых случаях такое возможно. Можете ли вы восстановить цифры в этом примере на умножение?
(Пробел в разряде единиц в этой позиции обозначает цифру ноль. Этот символ не отображается здесь, чтобы не перепутать его с буквой О. Кроме того, в этой позиции в умножении в столбик всегда находится ноль, что не влияет на результат.)
Предыдущая задача, придуманная в начале 1960-х профессором математики и иллюзионистом Уильямом Фитчем Чейни, впервые была опубликована в колонке Мартина Гарднера Mathematical Games в журнале Scientific American. Если Сэм Лойд был величайшим изобретателем математических головоломок в США, то Гарднер – их величайший популяризатор. Благодаря своей колонке в Scientific American, которая выходила на протяжении более чем двадцати лет, а также десяткам книг, Гарднер собрал не имеющую себе равных коллекцию математических головоломок. Он стал центром обширной неформальной сети их любителей (таких как Фитч Чейни), чьи лучшие идеи впервые публиковались в его колонке.
