51. СОТНЯ КУР
Если петух стоит 5 денежных единиц, курица 4 единицы, а цыпленок ¼ единицы, сколько петухов, кур и цыплят можно купить за 100 единиц так, чтобы всего получить 100 пернатых?
Китайский математик Чжэнь Луань придумал эту задачу в середине VI века, хотя впервые подобные задачи (как приобрести 100 животных трех видов за 100 денежных единиц) появились столетием ранее, и тоже в Китае.
Это замечательная головоломка: удивительно лаконичная, с неочевидным решением. Проверив в уме несколько чисел, вы совсем запутаетесь. Любимая загадка китайцев о сотне животных распространилась в Индии, на Ближнем Востоке и в Европе. Сборник головоломок Алкуина под названием «Задачи для развития молодого ума», о котором я уже упоминал, содержит три варианта этой головоломки: продаются кабаны, свинки и поросята по десять, пять и половине динария; лошади, коровы и овцы – по три солида
[20], одному и двадцать четвертой части солида; верблюды, ослы и овцы по пять, одному и двадцатой части солида. Последний вариант, возможно, отдавая должное происхождению головоломки, Алкуин называет задачей восточного торговца.
Современные читатели при решении подобных задач сразу же представят их в виде уравнений. Если вы покупаете х петухов, y кур и z цыплят, то вопрос Чжэнь Луаня можно перефразировать так:
1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).
2. 5 x + 4 y + z/4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).
Решив эти уравнения, вы получите ответ.
Чжэнь Луань, Алкуин и их современники решали задачи такого рода посредством догадок, проб и ошибок. У них не было возможности использовать алгебру, поскольку после крушения античной цивилизации эта наука надолго прервала свое развитие и начала возрождаться сначала на Востоке с IX века, а потом и в Европе. Однако решать подобные задачи с помощью уравнений гораздо проще и, пожалуй, интереснее. В задачах о сотне животных мне нравится именно то, что они одними из первых демонстрировали огромную силу алгебраических методов. Эти головоломки сыграли определенную роль в развитии и распространении новых математических методов, причем не только в виде блестящего доказательства их эффективности, но и в качестве интересных логических проблем, которые потребовали от математиков средних веков и эпохи Возрождения более глубокого анализа.
Алгебра – раздел математики, в котором числа и величины представлены в уравнениях в виде символов, например x, y и z. Слово «алгебра» происходит от арабского al-jabr – «восстановление». Багдадский ученый IX столетия Аль-Хорезми использовал это слово для обозначения математической операции, которая в современной науке подразумевает взятие какого-нибудь члена из одной части уравнения и его «восстановление» в другой. С помощью восстановления и других операций Аль-Хорезми разработал методы решения простых уравнений.
Египетский математик Абу Камил, живший в IX–X веках, написал ряд работ с подробным анализом идей Аль-Хорезми. В одной из них шла речь о задачах с покупкой 100 птиц за 100 денежных единиц. «Мне известен тип задач, который может показаться захватывающим, оригинальным и притягательным людям как высокого, так и низкого положения, как ученым, так и безграмотным, – писал он. – Однако, обсуждая друг с другом решения, люди обмениваются не совсем верными суждениями и догадками, поскольку не видят наглядного принципа или системы… Чтобы сделать этот вопрос понятнее, я решил написать книгу».
Давайте решим эту задачу. У нас есть два уравнения:
1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).
2. 5 x + 4 y + z/4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).
Как правило, для решения подобных уравнений (в школе их называют системой уравнений) необходимо столько уравнений, сколько есть переменных. Например, для трех переменных нам понадобится три уравнения.
В данном случае у нас два уравнения. Однако уравнение предоставляет нам дополнительную информацию, позволяющую решить задачу. Мы можем исходить из того, что птицы не продаются половинами, четвертями и что их количество не может обозначаться отрицательной величиной. (Давайте предположим, что нам необходимо купить как минимум одну особь.) Следовательно, значения x, y и z должны быть натуральными числами и, разумеется, меньше 100.
Приступим к работе. Умножьте второе уравнение на четыре, чтобы избавиться от дроби:
(1) 20 x + 16 y + z = 400.
После нескольких операций «восстановления» получится, что
z = 400 – 20 x – 16 y.
Подставив это значение вместо z в уравнении (1), получим:
(2) x + y + 400 – 20x – 16 y = 100.
Это уравнение можно привести к такому виду:
19 x + 15 y = 300.
Теперь у нас есть одно уравнение с двумя переменными, которое можно решить с учетом других условий. Единственные положительные целые значения x и y, которые мы можем в него подставить, найденные методом проб и ошибок, – это x = 15 и y = 1. (Обратите внимание: 300 делится на 5, а значит, 19x + 15y тоже делится на 5, поэтому x должно быть кратным 5. Этому условию отвечают только значения x = 5, 10 и 15, но подстановка первых двух значений не позволяет решить уравнение.) Следовательно, z = 100 – x – y = 100 – 16 = 84.
Ответ: за 100 денежных единиц можно купить 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.
В своем труде Абу Камил пишет, что в зависимости от цены трех птиц у этой задачи иногда есть одно решение (как в данном примере), а порой ни одного или, наоборот, несколько. В пример он приводит следующую задачу.
52. СОТНЯ ПТИЦ
Если утка стоит 2 драхмы
[21], голубь – половину, а куры треть драхмы, сколько уток, кур и голубей у вас будет, когда вы купите 100 птиц за 100 драхм?
Помимо изобретения новой математики средневековые арабские ученые также приняли индийскую систему счисления, состоящую из десяти цифр, включая ноль. Арабские цифры (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0) пришли в Европу примерно в XIII веке. Одной из первых европейских книг, где они использовались, была Liber Abaci («Книга абака», или «Трактат по арифметике») итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Этот труд содержит сведения о вычислениях и измерениях, а также математические головоломки, в том числе задачи о птицах, такие как следующая.
