Наглядный подход Пуанкаре
Чтобы привести пример подхода Пуанкаре
[325], рассмотрим колебания простого маятника – такого, как изучал Галилей. Используя закон движения Ньютона и учитывая силы, действующие на маятник при раскачивании, мы можем нарисовать абстрактную картинку, показывающую, как меняются угол и скорость маятника в любой момент времени. Эта картинка – по сути, перевод на визуальный язык того, что говорит закон Ньютона. В ней нет ничего нового по сравнению с содержанием дифференциального уравнения. Это просто еще один способ взглянуть на ту же самую информацию.
Рисунок выглядит как метеорологическая карта: на таких картах мы видим стрелки, показывающие локальное направление движения атмосферного фронта в данный момент. Это тот же тип информации, которую предоставляет дифференциальное уравнение. Ту же информацию содержат инструкции по обучению танцам: поставьте левую ногу сюда, правую ногу туда и так далее. Такая карта называется схемой векторного поля. Маленькие стрелки на ней – это векторы, показывающие, как будут меняться угол и скорость маятника в следующий момент, если в данный момент они именно таковы. Изображение векторного поля для маятника выглядит примерно так:
Прежде чем анализировать эту картинку, четко усвойте: она абстрактна в том смысле, что не показывает реалистичный портрет маятника. Узор из поворачивающихся стрелок не похож на груз, подвешенный на веревке. Фотография маятника тоже так не выглядит. (Чтобы дать вам представление, что происходит, под диаграммой векторного поля размещены рисунки положений маятника.) Вместо реалистичного изображения маятника схема векторного поля дает абстрактную картину изменения его положения от одного момента к другому. Каждая точка на схеме представляет собой возможную комбинацию угла и скорости маятника в какой-то момент. Горизонтальная ось показывает угол отклонения маятника, вертикальная – его скорость. В любое мгновение знание этих двух чисел определяет динамическое состояние маятника. Они предоставляют нам информацию, необходимую для предсказания угла и скорости маятника через мгновение, затем еще через мгновение и так далее. Все, что от нас требуется, – следовать за стрелками.
Круговое расположение стрелок около центра диаграммы соответствует простому колебательному движению маятника, когда он отклоняется от вертикального положения и возвращается в него. Волнообразная форма расположения стрелок вверху и внизу соответствует вращению маятника с прохождением верхней точки – подобно пропеллеру. Ни Ньютон, ни Галилей никогда не рассматривали такие вихревые движения; они находились за пределами того, что можно вычислить классическими методами. Однако на рисунке Пуанкаре они отчетливо видны. Такой качественный подход к дифференциальным уравнениям теперь постоянно используется во всех областях, где появляется нелинейная динамика, – от лазерной физики до нейробиологии.
Нелинейность идет на войну
Нелинейную динамику можно весьма успешно применять на практике. В умелых руках британских математиков Мэри Картрайт
[326] и Джона Литтлвуда методы Пуанкаре помогли защитить Великобританию от нацистских налетов. В 1938 году Управление научных и промышленных исследований британского правительства обратилось в Лондонское математическое общество за помощью в решении проблемы, связанной со сверхсекретными разработками в области радиолокации. Инженеры, работавшие над проектом радара, были озадачены шумными беспорядочными колебаниями, которые наблюдались в усилителях, особенно при работе устройств с мощными высокочастотными радиоволнами. Они опасались каких-то неполадок с оборудованием.
Просьба правительства привлекла внимание Картрайт. Она уже изучала модели колебательных систем, подчиняющихся подобным «крайне неприятно выглядящим дифференциальным уравнениям»
[327], как она описывала их позднее
[328]. Они с Литтлвудом стали искать источник беспорядочных колебаний в электронике радара. Усилители были нелинейными и могли реагировать хаотично при слишком быстрых или сильных воздействиях.
Спустя десятилетия физик Фримен Дайсон вспоминал, как слушал лекцию Картрайт о ее работе в 1942 году. Он писал:
Вся разработка радаров во время Второй мировой войны зависела от мощных усилителей, и добиться того, чтобы они делали то, что им положено делать, было вопросом жизни и смерти. Солдаты допекали плохо работающими усилителями и винили производителей в их хаотическом поведении. Картрайт и Литтлвуд обнаружили, что производители не виноваты. Виновато было само уравнение
[329].
Идеи Картрайт и Литтлвуда позволили государственным инженерам обойти проблему, управляя усилителями в режимах, где они вели себя более предсказуемо. Картрайт очень скромно оценивала свой вклад. Когда она прочитала, что Дайсон написал о ее работе, она отругала его за то, что он придал ей слишком большое значение.
Дама
[330] Мэри Картрайт скончалась в 1998 году в возрасте 97 лет. Она стала первой женщиной-математиком, избранной в Лондонское королевское общество. Она оставила строгие указания, чтобы на поминальной службе не произносили хвалебных речей.
Альянс между анализом и компьютерами
Необходимость решать дифференциальные уравнения во время войны подстегнула развитие вычислительной техники. Механические и электронные мозги, как их в те дни иногда называли, можно было применять для вычисления траекторий ракет и артиллерийских снарядов при реалистичных условиях – с учетом сопротивления воздуха и направления ветра. Эта информация требовалась артиллеристам для поражения целей: все необходимые баллистические расчеты производились заранее и сводились в стандартные таблицы и диаграммы. Для такой задачи нужны были машины с высокой производительностью. При математическом моделировании компьютеры могли продвигать идеализированный снаряд по траектории его полета – один маленький шажок за другим, используя подходящее дифференциальное уравнение для определения нового положения и скорости снаряда. Объединяя все эти маленькие приращения, компьютер получал решение. Только машина могла выполнять все необходимые сложения и умножения – правильно, быстро и без устали.
