Рассмотрим Boeing 787 Dreamliner
[286]. В 2011 году крупнейшая в мире авиакосмическая компания Boeing выпустила реактивный самолет нового поколения, предназначенный для перевозки 200–300 пассажиров на большие расстояния. Утверждалось, что лайнер на 60 процентов тише и на 20 процентов экономичнее, чем Boeing 767, который он должен был заменить. Одна из самых инновационных особенностей – применение углепластика для фюзеляжа и крыльев. Эти композитные материалы космической эры легче и прочнее алюминия, стали и титана – традиционных материалов, применяемых для реактивных самолетов. Поскольку углепластик легче металла, он экономит топливо и позволяет самолету летать быстрее.
Но, пожалуй, самая новаторская вещь в Boeing 787 – активное применение математики и вычислений, которые превосходили аналогичную деятельность для всех предыдущих моделей самолетов. Анализ и компьютеры сэкономили компании Boeing массу времени – моделирование нового опытного образца намного быстрее, чем его строительство. Это также экономило деньги компании – компьютерные вычисления куда дешевле, чем испытания в аэродинамической трубе, стоимость которых за последние десятилетия взлетела буквально до небес. Дуглас Болл, главный инженер отдела технологий и исследований компании, отметил в интервью, что при разработке Boeing 767 в 1980-х годах компания сконструировала и протестировала семьдесят семь прототипов крыльев. Спустя 25 лет, используя суперкомпьютеры для моделирования крыльев Boeing 787, компания построила и протестировала всего семь экземпляров.
Уравнения в частных производных применялись в этом процессе всевозможными способами. Например, наряду с расчетами подъемной силы и сопротивления математики компании применяли анализ, чтобы спрогнозировать, как будут изгибаться крылья лайнера на скорости 900 километров в час. Когда на крыло действует подъемная сила, она заставляет его изгибаться вверх и скручиваться. Явление, которого инженеры обычно хотят избежать, – опасный эффект под названием аэроупругий флаттер
[287], скверный вариант трепетания оконных жалюзи, когда дует ветерок. В лучшем случае такие нежелательные колебания крыльев приведут к ухабистому полету, в худшем – создадут цикл с положительной обратной связью: при колебаниях крылья меняют поток воздуха над собой так, что колебания только усиливаются. Известно, что флаттер повреждает крылья самолетов, проходящих летные испытания, вызывая проблемы с конструкцией и катастрофы (как произошло в 1997 году на авиашоу с истребителем Lockheed F-117 Nighthawk). Если серьезный флаттер случится на коммерческом рейсе, это поставит под угрозу жизни сотен пассажиров.
Уравнения, описывающие аэроупругий флаттер, тесно связаны с теми, которые мы упоминали при обсуждении лицевой пластики. Там разработчики модели в духе Архимеда аппроксимировали мягкие ткани и череп пациента с помощью сотен тысяч многогранников и многоугольников. В таком же ключе математики компании Boeing аппроксимировали крыло с помощью сотен тысяч крохотных кубиков, призм и тетраэдров. Эти простые формы играли роль строительных блоков. Каждому из них приписывалась определенная жесткость и эластичность, как и при лицевой пластике, а затем эти блоки подвергали сжатию и растяжению. Уравнения в частных производных, используемые в теории упругости, предсказывают поведение каждого элемента под воздействием этих сил. Наконец, с помощью суперкомпьютера все эти реакции объединили и использовали для прогнозирования общей вибрации крыла.
Аналогичным образом уравнения в частных производных использовались для оптимизации процесса сгорания в двигателях авиалайнера. Это особенно сложная задача для моделирования. Здесь взаимодействуют три области: химия (топливо участвует в сотнях химических реакций при высокой температуре), теплопередача (тепло перераспределяется внутри двигателя, поскольку химическая энергия преобразуется в механическую, вращающую лопатки турбин) и динамика текучих сред (горячие газы закручиваются в камере сгорания, и предсказание их поведения – чрезвычайно сложная задача с учетом турбулентности). Как и прежде, команда Boeing использовала Архимедов подход – они разделили задачу на части, решили каждую из них, а затем свели их воедино. Это принцип бесконечности в действии – стратегия «разделяй и властвуй», на которой зиждется весь анализ. Здесь ему помогали суперкомпьютеры и численный метод решения уравнений, известный как метод конечных элементов. Но в основе всего лежит анализ, воплощенный в дифференциальных уравнениях.
Вездесущность уравнений в частных производных
Применение анализа в современной науке – это в значительной степени упражнение по формулировке, решению и интерпретации уравнений в частных производных. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн – это уравнения в частных производных. Таковы же законы упругости, акустики, теплопередачи, текучести и газовой динамики. Список можно продолжать: модель Блэка – Шоулза для определения теоретической цены опционов
[288] или модель Ходжкина – Хаксли
[289], описывающая распространение электрических импульсов по нервным волокнам, – все это тоже уравнения в частных производных.
Даже на переднем крае современной физики математическую инфраструктуру по-прежнему обеспечивают дифференциальные уравнения в частных производных. Обратимся к общей теории относительности Эйнштейна
[290]. Она переосмысливает гравитацию как проявление кривизны четырехмерной ткани пространства-времени. Стандартная метафора предлагает нам представить пространство-время как эластичную деформируемую ткань наподобие поверхности батута. В обычном состоянии она туго натянута, но если положить на нее нечто тяжелое, скажем, шар для боулинга, то она может изгибаться. Точно так же массивное небесное тело, например Солнце, может изгибать вокруг себя ткань пространства-времени. Теперь вообразите нечто гораздо меньшее, допустим, маленький шарик (изображающий планету), который катится по искривленной поверхности батута. Поскольку она прогибается под весом шара для боулинга, она искривляет траекторию шарика. Вместо того чтобы двигаться по прямой линии, он следует контурам искривленной поверхности и вращается вокруг шара для боулинга. Вот почему, по словам Эйнштейна, планеты двигаются вокруг Солнца. Они не ощущают никакой силы, а просто следуют по пути наименьшего сопротивления в искривленной ткани пространства-времени.
Какой бы непостижимой ни была эта теория, в ее математической основе лежат уравнения в частных производных. То же самое верно для квантовой механики, теории микромира. Ее основное уравнение – уравнение Шрёдингера
[291] – тоже использует частные производные. В следующей главе мы подробнее рассмотрим такие уравнения, чтобы вы имели представление о том, что это такое, откуда они берутся и почему так важны для повседневной жизни. Как мы увидим, уравнения в частных производных не только описывают остывающую на столе тарелку супа, но и объясняют, как он нагревается в микроволновой печи.
