Например, в уравнениях Ньютона для задачи двух тел положение планеты было функцией времени. Планета постоянно меняла свое местоположение в соответствии с соотношением F = ma. Это обыкновенное дифференциальное уравнение определяет, насколько изменится положение планеты через бесконечно малый интервал времени. В этом примере положение планеты – зависимая переменная, поскольку оно зависит от времени – независимой переменной. Точно так же время было независимой переменной в динамической модели ВИЧ Алана Перельсона. Он моделировал, как менялась концентрация вирусных частиц в крови после приема антиретровирусного препарата. Вопрос заключался в изменении во времени: насколько концентрация вируса меняется от момента к моменту. Здесь концентрация играла роль зависимой переменной, а время – независимой.
В целом обыкновенное дифференциальное уравнение описывает, как что-то (положение планеты, концентрация вируса и так далее) меняется на бесконечно малую величину в результате бесконечно малого изменения чего-то другого (например, времени). «Обыкновенным» такое уравнение считается потому, что в нем ровно одна независимая переменная.
Любопытно, что абсолютно неважно, сколько в нем зависимых переменных. Пока независимая переменная одна, уравнение считается обыкновенным. Например, для определения положения космического корабля в трехмерном пространстве нужны три числа: назовем их x, y и z. Они указывают, где (слева-справа, вверху-внизу, впереди-сзади) находится корабль относительно некоторой произвольной точки, именуемой началом координат, или точкой отсчета. Поскольку корабль движется, то x, y и z меняются в зависимости от времени. Таким образом, они являются функциями времени. Чтобы подчеркнуть это, мы могли бы записать их в виде x(t), y(t) и z(t).
Обыкновенные дифференциальные уравнения идеально подходят для дискретных систем, состоящих из одного или нескольких тел. Они могут описывать движение космического корабля, входящего в атмосферу; маятника, раскачивающегося вперед и назад; или одной планеты, обращающейся вокруг Солнца. Загвоздка в том, что нам нужно представить любой объект в идеализированном виде – как точку, бесконечно малый объект без пространственной протяженности. Тогда мы можем считать его точкой с координатами x, y и z. Аналогичный подход срабатывает, когда имеется много точечных частиц: армада крохотных космических кораблей, цепочка маятников, соединенных пружинами, Солнечная система из восьми или девяти планет и бесчисленного количества астероидов. Все такие системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
За столетия после Ньютона математики и физики разработали множество оригинальных способов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и, соответственно, прогнозирования систем реального мира, которые они описывают. Эти методы включали развитие идей Ньютона о степенных рядах, идей Лейбница о дифференциалах, хитроумные преобразования, которые позволяют применять основную теорему анализа, и так далее. Это масштабная индустрия, и она продолжает функционировать по сей день.
Однако не все системы дискретны – по крайней мере, не все из них следует рассматривать таким образом, как мы видели на примере гитарной струны. Следовательно, не все системы можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чтобы понять, почему, давайте посмотрим на воображаемую тарелку супа, остывающего на кухонном столе.
Конечно, тарелка супа на каком-то уровне представляет дискретное множество хаотично двигающихся молекул. Однако нет никаких возможностей их рассмотреть, измерить или иным образом количественно выразить их перемещения, поэтому никому не приходит в голову использовать обыкновенные дифференциальные уравнения для модели охлаждения супа. Придется иметь дело со слишком большим количеством частиц, движение которых нерегулярно, беспорядочно и неизвестно.
Гораздо удобнее думать о супе как о континууме. Это не совсем верно, но разумно. При аппроксимации континуумом мы считаем, что суп существует в каждой точке трехмерного объема тарелки. Температура T в определенной точке (x, y, z) зависит от времени t. Вся эта информация содержится в функции T. Как мы вскоре убедимся, существуют дифференциальные уравнения для описания того, как эта функция меняется во времени и пространстве. Такое уравнение уже не будет обыкновенным дифференциальным уравнением, ведь в нем не одна независимая переменная, а фактически четыре – t, x, y и z. Это новый зверь – уравнение в частных производных
[285], названное так потому, что производные берутся по отдельным переменным.
Уравнения в частных производных намного разнообразнее обыкновенных. Они описывают непрерывные системы, движущиеся и изменяющиеся одновременно в пространстве и времени или в двух или нескольких измерениях пространства; провисшую форму гамака, распространение загрязняющего вещества в озере или поток воздуха над крылом истребителя.
Такие уравнения крайне трудны в решении, на их фоне обыкновенные дифференциальные уравнения, которые сами по себе тоже сложные, кажутся детской забавой. Но они чрезвычайно важны. Наша жизнь зависит от них каждый раз, когда мы поднимаемся в небо.
Дифференциальные уравнения в частных производных и Boeing 787
Полет современного самолета – это чудо математического анализа. Но так было не всегда: на заре авиации первые летательные аппараты создавали по аналогии с птицами и воздушными змеями, применяя инженерную смекалку и метод проб и ошибок. Например, братья Райт для разработки системы управления аэропланом в полете и преодоления присущей ему неустойчивости опирались на свои знания о велосипедах.
Однако по мере совершенствования конструкции самолетов для их проектирования требовалось применять все более сложные средства. Аэродинамические трубы давали инженерам возможность проверять аэродинамические свойства аппаратов еще на земле. Модели, представлявшие миниатюрные копии реальных самолетов, позволяли проектировщикам проверять пригодность к полетам без создания полномасштабных моделей.
После Второй мировой войны авиационные инженеры добавили в свой арсенал компьютеры. Исполины на электронных лампах, которые использовались для взлома шифров, артиллерийских вычислений и прогноза погоды, помогали в создании современных реактивных самолетов. Компьютеры применялись для решения уравнений в частных производных, которые неизбежно возникали в процессе конструирования.
Было несколько причин для привлечения столь изощренной математики. Прежде всего – сложная геометрия самолета. Это не шар, не воздушный змей и не планер из бальсы. Форма самолета намного сложнее – крылья, фюзеляж, двигатели, хвост, закрылки и шасси. Все они отклоняют воздух, проносящийся мимо аппарата с огромной скоростью. И всякий раз, когда набегающий воздух отклоняется, он воздействует на все, что его отклоняет (это знает любой, кто когда-нибудь высовывал руку из окна автомобиля, мчащегося по шоссе). Если крыло самолета правильной формы, набегающий воздух стремится его поднять. Если самолет достаточно быстро двигается по взлетно-посадочной полосе, эта сила поднимает его в воздух и удерживает там. Однако наряду с подъемной силой, действующей перпендикулярно потоку набегающего воздуха, существует сила – лобовое сопротивление, – действующая параллельно потоку. Это сопротивление подобно трению. Оно мешает движению летательного аппарата и замедляет его, что требует более активной работы двигателей и повышенного расхода топлива. Вычисление величины подъемной силы и силы сопротивления для реалистичной формы самолета – чрезвычайно сложная задача, выходящая далеко за пределы человеческих возможностей. Но такие задачи необходимо решать – они крайне важны при проектировании самолетов.
