Решение обратной задачи имеет гораздо более серьезные последствия по следующей причине: с точки зрения Архимеда, площадь – это бесконечная сумма бесконечно малых прямоугольных полос, а значит, в этом смысле площадь интеграл. Это объединенная (интегрированная) совокупность всех сложенных вместе кусочков, накопление бесконечно малых изменений. И так же как производные оказались важнее наклонов, интегралы оказались важнее площадей. Площади необходимы для геометрии, интегралы – для всего, в чем мы убедимся в следующих главах.
Один из способов подойти к сложной обратной задаче – игнорировать ее. Отложите ее в сторону. Замените более простой прямой задачей (для данной функции A(x) вычислите ее скорость изменения dA / dx; согласно основной теореме, это должно равняться величине y, которую мы ищем). Прямая задача намного проще, потому что мы знаем, с чего начать. Мы можем начать с известной функции площади A(x), а затем узнать скорость ее изменения с помощью стандартных формул для производных. Получившаяся скорость изменения dA / dx далее должна играть роль парной функции y, как нас убеждает основная теорема: dA / dx = y. Сделав это, мы получим пару партнерских функций, A(x) и y(x), которые представляют функцию площади и соответствующую кривую. Есть надежда, что если нам посчастливится наткнуться на какую-то задачу, где нужно найти площадь под этой конкретной кривой y(x), то соответствующей функцией площади будет как раз A(x). Это не системный подход, и он срабатывает только в случае, если нам повезет, но, по крайней мере, он прост и у нас есть с чего начать. Чтобы повысить шансы на успех, мы можем создать огромную справочную таблицу с сотнями функций площадей и их соответствующими кривыми, то есть с множеством пар (A(x), y(x)). Тогда размеры и разнообразие такой таблицы повысят наши шансы наткнуться на пару, которая подходит для решения интересующей нас задачи. И как только мы найдем эту пару, нам больше ничего не нужно делать – ответ будет прямо в таблице.
Например, в следующей главе мы увидим, что производная x3 равна 3x2. Мы получим этот результат, решив прямую задачу, просто взяв производную. Однако самое замечательное – что это говорит нам о том, что x3 может играть роль A(x), а 3x2 – роль y(x). Не вспотев, мы решили задачу площади для x (если нам когда-нибудь понадобится именно она). Продолжая в том же духе, мы можем заполнить таблицу и другими степенями 3x2. Аналогичные вычисления покажут, что производная x4 равна 4x3, производная x5 равна 5x4 и в целом производная xn равна nxn-1. Все это простые решения прямой задачи для степенных функций. Поэтому столбцы в нашей таблице будут выглядеть примерно так:
В своей тетради 22-летний Исаак Ньютон составил для себя похожую таблицу
[204].
Воспроизведено с любезного разрешения уполномоченных лиц библиотеки Кембриджского университета. MS-ADD-04000–000–00259.tif (MS Add. 4000, page 124r).
Обратите внимание, что его язык несколько отличался от нашего. Кривые в левом столбце – это «Уравнения, выражающие природу линий y». Их функции площади – это «их квадратуры» (поскольку он рассматривал задачу нахождения площади как квадрирование кривых). Он также ощущал необходимость вставлять различные степени a, произвольной единицы длины, чтобы все величины имели правильную размерность. Например, его нижняя правая величина A(x) в пятой строке сверху – это x7 / a5 (а не просто x7, как у нас сейчас), потому что в его представлении эта величина отображает площадь, а потому должна иметь размерность площади (длину в квадрате). Все это размещено через несколько страниц после «Метода квадрирования тех кривых, которые можно квадрировать» – объявления о рождении основной теоремы анализа. Вооруженный этой теоремой, Ньютон заполнил еще много страничек списком «кривых» и их «квадратур». В руках Ньютона машина анализа включилась и заработала.
Следующей задачей – на самом деле фантазией – стал поиск метода квадрировать любую кривую, а не только степенные функции. Возможно, из-за общих слов это не выглядит особо блестящей фантазией. Поэтому позвольте мне сформулировать так: эта задача содержит в себе суть всего, что делает сложным интегральное исчисление. Если бы она была решена, это запустило бы цепную реакцию вроде толкания костяшек домино: одна задача рушилась бы за другой. Ее решение можно было бы использовать для ответа на вопрос, который, по мнению Декарта, находится вне человеческого понимания, – поиска длины дуги произвольной кривой. Можно было бы найти площадь любой фигуры на плоскости – даже похожей по форме на амёбу. Можно было бы вычислить площадь поверхности, объем и положение центра тяжести сфер, параболоидов, урн, бочек и других поверхностей, которые получаются путем вращения кривой вокруг оси, подобно вазе на гончарном круге. Одним махом решились бы классические задачи о криволинейных формах, над которыми размышлял Архимед и другие великие математические умы в течение восемнадцати столетий.
Это позволило бы справиться не только с этими, но и с другими задачами. Решение такой задачи сделало бы возможным прогнозирование положения двигающихся объектов – например, где окажется планета в определенной точке своей орбиты, даже если планета подвергается какой-то другой силе притяжения, отличной от действующей в нашей Вселенной. Вот что я имею в виду, называя эту задачу святым Граалем, заветной мечтой интегрального исчисления. Ее решение привело бы к устранению множества других проблем.
Вот почему так важно умение находить площадь под произвольной кривой. Из-за своей тесной связи с обратной задачей задача площади касается не только площадей. Она относится не только к формам, соотношениям между расстоянием и скоростью или таким же узким вещам. Это совершенно общая вещь. С современной точки зрения задача площади относится к прогнозированию взаимоотношений между всем, что меняется с переменной скоростью, и накапливающимся во времени результатом таких изменений. Это переменный приход денег на банковский счет и накопленная сумма на нем. Это темпы роста мирового населения и общая численность людей на планете. Это изменение концентрации химиотерапевтического препарата в крови пациента и накопленное воздействие этого препарата со временем. Это влияет на то, насколько эффективной или токсичной будет химиотерапия. Площадь важна, потому что важно будущее.
