Архимед применил этот метод ко многим другим задачам о криволинейных формах. Например, для поиска центра тяжести полусферы, параболоида и сегментов эллипсоидов и гиперболоидов. Его любимый результат, который касался соотношения объемов и площадей поверхности шара и цилиндра
[68], нравился ему настолько, что он завещал высечь его на могильном камне. Представьте себе шар, точно размещенный в цилиндрической коробке (шар, вписанный в цилиндр).
С помощью метода Архимед установил, что объем вписанного в цилиндр шара составляет 2/3 от объема цилиндра, а площадь поверхности этого шара – 2/3 от площади поверхности описанного цилиндра. Обратите внимание, что он не дал формул для объема или площади поверхности сферы, как мы сделали бы сегодня. Он выразил свой результат в виде пропорций. Это классический греческий стиль. Все выражается в пропорции. Область сравнивали с другой областью, а объем – с другим объемом. И когда в пропорциях получились небольшие целые числа, как здесь (3 и 2) или в случае сегмента параболы (4 и 3), это было источником непередаваемого удовольствия. В конце концов, эти же самые соотношения 3:2 и 4:3 имели особое значение для древних греков из-за их роли в пифагорейской теории музыкальной гармонии. Вспомните, что, если защипнуть две струны с соотношением длин 3:2, они звучат гармонично, будучи разделенными через интервал, известный как квинта. Аналогично струны в соотношении 4:3 дают кварту. Такие числовые совпадения между гармонией и геометрией, должно быть, восхищали Архимеда.
Его слова в трактате «О шаре и цилиндре» показывают, насколько ему нравится результат: «Разумеется, эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам»
[69]. Не обращайте внимания на нотки гордости, а сосредоточьтесь на его утверждении, что «свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными». Здесь он выражает философию математики, близкую сердцам всех математиков. Мы чувствуем, что открываем математику. Результаты уже существуют и ждут нас. Они всегда были присущи телам. Мы их не изобретаем. В отличие от Боба Дилана или Тони Моррисона, мы не пишем музыку или романы, которых раньше не было, а открываем уже имеющиеся факты, которые присущи изучаемым нами объектам. Хотя у нас есть творческая свобода изобретать сами объекты – создавать такие идеализации, как сферы, круг и цилиндры, как только мы это делаем, они начинают жить собственной жизнью.
Когда я читаю, как Архимед радуется обнаружению соотношений для площади поверхности и объема шара, я испытываю аналогичные ощущения. Или, скорее, понимаю, что он чувствовал то же самое, что и все мои коллеги-математики. Хотя нам говорят, что «прошлое – это чужая страна»
[70], она не может быть чужой во всех отношениях. Люди, о которых мы читаем у Гомера и в Библии, очень похожи на нас. То же самое, по-видимому, верно и в отношении древнегреческих математиков, по крайней мере Архимеда, единственного, кто впустил нас в свое сердце.
Двадцать два века назад, написав письмо своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии, Архимед, по сути, отправил ему математическое послание в бутылке, которое тогда практически никто не мог оценить, но он надеялся, что оно благополучно преодолеет моря времени. Он делился своей интуицией, своим методом, желая, чтобы он помог будущим поколениям математиков «найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Шансы были против него. Времена всегда были жестокими. Царства рушились, библиотеки сжигались, рукописи портились. Ни одна копия «Метода» не пережила периода Средневековья. Хотя Леонардо да Винчи, Галилей, Ньютон и другие гении Возрождения и научной революции изучали то, что осталось от трудов Архимеда, у них не было возможности прочитать «Метод». Считалось, что он безвозвратно утерян.
А затем каким-то чудом его нашли.
В октябре 1998 года потрепанный средневековый молитвенник был выставлен на аукцион Christie’s и продан анонимному частному коллекционеру за 2,2 миллиона долларов. Под латинскими молитвами просматривались едва различимые геометрические чертежи и математический текст, написанный на греческом языке в X веке. Книга оказалась палимпсестом: в XIII веке ее пергаментные листы были вымыты и очищены от греческого текста ради написанных поверх литургий на латыни. К счастью, греческий текст не был полностью уничтожен. Это оказалась единственная сохранившаяся копия «Метода» Архимеда
[71].
На палимпсест Архимеда
[72], как сейчас называют эту рукопись, впервые обратили внимание в 1899 году, когда он находился в православной библиотеке в Константинополе. Ренессанс и научную революцию он пролежал незамеченным в лавре Саввы Освященного недалеко от Вифлеема. Сейчас он находится в художественном музее Уолтерса в Балтиморе, где был с любовью отреставрирован и исследован с применением новейших технологий воссоздания изображений
[73].
Архимед сегодня: от компьютерной анимации до лицевой пластики
Наследие Архимеда живо и сегодня
[74]. Взгляните на анимированные фильмы
[75], которые так любят смотреть наши дети. Персонажи «Шрека», «В поисках Немо» или «Истории игрушек» кажутся такими живыми и настоящими отчасти потому, что воплощают идею Архимеда: любую гладкую поверхность можно надежно аппроксимировать треугольниками. Например, вот три триангуляции головы манекена
[76]:
