Фейгенбаум связался с Полом Стейном, но тот не поверил в подобное совпадение, посчитав доказательства недостаточными, – в конце концов, точность калькулятора оставляла желать лучшего. Несмотря на это, Фейгенбаум позвонил родителям в Нью-Джерси и сообщил, что столкнулся в своих исследованиях с чем-то весьма глубоким. Его решение, объявил он матери, скоро сделает его, Фейгенбаума, знаменитым. Затем он приступил к изучению других функций – всех, которые, по его мнению, также проходили через последовательность разветвлений на пути к хаосу. Вычисления давали неизменный итог: 4,669.
Фейгенбаум имел дело с цифрами всю свою жизнь. Еще подростком он научился рассчитывать логарифмы и значения синусов, которые все остальные искали в таблицах. Вместе с тем он даже не представлял, как использовать в исследованиях иное счетное устройство, кроме карманного калькулятора. В этом Митчелл был типичным физиком и математиком, которые презирали механистическое мышление, свойственное работе с компьютером. И вот час компьютера пробил. Фейгенбаум обратился к коллеге с просьбой научить его программированию на Фортране и уже к вечеру для каждой из множества взятых им функций подсчитал свою постоянную с точностью до пяти цифр после запятой: 4,Проштудировав ночью правила вычислений с двойной точностью, на следующий день Фейгенбаум получил значение 4,Этого было достаточно, чтобы убедить Стейна, но самого Митчелла все еще одолевали сомнения. Он планировал найти какую-то упорядоченность – это и значит «понять» с точки зрения математики, – однако с самого начала ученый знал, что разные типы уравнений, подобно разным физическим системам, ведут себя по-разному, проявляют свои характерные особенности. Фейгенбаум хорошо знал и квадратичные, и тригонометрические уравнения, с математической точки зрения вполне тривиальные. И все же в этих разных уравнениях содержалось нечто такое, что из раза в раз рождало одно-единственное число. Фейгенбаум определенно нащупал что-то: возможно, просто шутку мироздания, а возможно – новый закон природы.
Представьте себе такую ситуацию: доисторический зоолог решил, что некоторые объекты тяжелее остальных и обладают неким абстрактным качеством, которое он назвал весом. И вот он хочет эту идею научно исследовать. На самом деле наш экспериментатор никогда еще не измерял вес, но он думает, что у него есть некоторое представление, как это сделать. Он смотрит на огромных змей и крошечных змеек, на больших медведей и маленьких медвежат и догадывается, что вес животного, должно быть, связан каким-то образом с его размером. Построив весы, он начинает взвешивать змей. К его удивлению, все змеи весят одинаково. С медведями та же история, и это его уже пугает. Но что удивительнее всего – косолапые весят столько же, сколько змеи, – 4,6692016090! Ясно одно: вес является вовсе не тем, что предполагал зоолог. Вся идея требует переосмысления.
Струящиеся ручьи, качающиеся маятники, электронные осцилляторы и множество других физических систем испытывают переход на пути к хаосу. Хотя такие переходы весьма сложны для анализа, механизмы функционирования систем изучены довольно хорошо. Физики знают все уравнения, которые описывают эти системы, но перебросить мостик от уравнений к пониманию глобального долгосрочного поведения объектов не представляется возможным. К сожалению, уравнения для жидкостей и даже маятников являются куда большим испытанием, нежели простое одномерное логическое отображение. Открытие Фейгенбаума подсказывало, что дело не в уравнениях: с появлением порядка вид уравнения терял свою значимость и независимо от того, квадратичное оно или тригонометрическое, результат получался один и тот же. «Традиция физики такова, что мы обособляем механизмы явления, а затем исследуем их по отдельности, – пояснял Фейгенбаум. – Но все разваливается. Мы знаем верные уравнения, но они нам не помогут. Суммировав все микроскопические фрагменты, мы выясним, что не можем распространить их на длительный период, потому что не они важны в интересующей нас проблеме. И это коренным образом меняет смысл выражения „знать что-либо“»
[239].
И хотя связь между вычислениями и физикой казалась весьма проблематичной, Фейгенбаум понял, что нужно искать новый способ расчетов сложных нелинейных проблем. До сих пор все доступные методы зависели от особенностей функций. Если функция была синусом, то и тщательно выполненные Фейгенбаумом расчеты тоже были синусовыми. Его открытие некой универсальности означало, что ни один из этих методов не подходит. Регулярность никоим образом не касалась синусов, не имела ничего общего с параболами или с другими отдельно взятыми функциями. Но почему? Это был шок! Природа, на мгновение отдернув занавес, позволила украдкой взглянуть на неожиданную упорядоченность. Но что еще пряталось за покровом тайны?
Озарение явилось Фейгенбауму в образе двух небольших волнистых форм и еще одной покрупнее. И ничего больше. Лишь яркое и четкое изображение, словно врезавшееся в сознание. Верхушка айсберга, отголосок мыслительных процессов, происходивших где-то на уровне подсознания; он был связан с масштабированием и указывал ученому верный путь.
Фейгенбаум изучал аттракторы. Устойчивое равновесие, о котором говорили его графики, было фиксированной точкой, притягивавшей, в свою очередь, другие. Не имело значения, какова начальная «популяция», – она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым раздвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Первоначально две эти точки находились совсем рядом, но по мере роста значения параметра они отдалялись друг от друга. Затем происходило следующее расщепление периодов – и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число – инвариант, полученный Фейгенбаумом, – позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать точное значение каждой точки этого сложнейшего аттрактора – двух, четырех, восьми точек… Он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Кроме того, здесь наблюдалась геометрическая сходимость: все числа также подчинялись закону масштаба.
Хаос под микроскопом. Митчелл Фейгенбаум сосредоточился на незатейливых функциях, раз за разом с помощью простого уравнения вычисляя значение одной величины в зависимости от другой. В случае с популяциями животных функция могла выражать соотношение между численностью в текущем году и в следующем. Одним из способов наглядного представления таких функций является построение графика, где исходные данные отмечаются на горизонтальной оси, а конечные – на вертикальной. Для каждого значения χ существует лишь одно значение у, и эта зависимость представлена на графике жирной линией. Затем, чтобы изобразить долгосрочное поведение системы, Фейгенбаум вычертил траекторию, начинавшуюся с произвольно взятого значения х. Поскольку каждое значение у вновь подставлялось в ту же функцию в качестве новой исходной величины, ученый мог применить своего рода ухищрение: траектория должна была как бы отражаться от прямой, проведенной под углом в 45 градусов, где значения χ и у равны. Для эколога наиболее очевидным типом функции, отображающей рост популяции, будет линейная – мальтузианская схема устойчивого и ничем не ограниченного увеличения численности с фиксированным ежегодным приростом (вверху слева). Более реалистичные функции представляют собой дугу, сокращающую популяцию, если та становится слишком большой. Здесь изображено так называемое логистическое отображение, идеальная парабола, заданная функцией у = гх(1 – х), где параметр r меняется от О до 4, определяя крутизну параболы. Но, как выяснил Фейгенбаум, конкретный вид функции, формирующей дугу, не имел значения. Действительно важным было наличие у нее «горба». Поведение тем не менее существенно зависело от крутизны кривой – от степени нелинейности, или, как выражался Роберт Мэй, «подъемов и спадов» (то есть от способности живущей в естественных условиях популяции к увеличению числа составляющих ее особей). Слишком пологая парабола означала вымирание: любое начальное значение численности в итоге падало до нуля (средний ряд, слева). Увеличение степени крутизны порождало устойчивое равновесие – ситуацию, понятную для эколога, который придерживается традиционных взглядов. Точка равновесия, притягивающая все траектории, являлась одномерным аттрактором
[240] (средний ряд, справа). После определенной точки происходила бифуркация, порождающая колеблющуюся популяцию с периодом 2 (внизу слева). Затем опять происходили удвоения периода, так что в конце концов траектория вообще отказывалась «успокаиваться» (внизу справа). Когда Фейгенбаум попытался создать новую теорию, подобные изображения послужили ему отправной точкой. Он начал размышлять в терминах рекурсии: функции от функций, функции от функций от функций и так далее; отображения с двумя «горбами», потом с четырьмя…
