По мере дальнейшего роста значения параметра количество точек удваивалось вновь и вновь, что просто ошеломляло ученого, поскольку столь сложное поведение таило в себе заманчивую устойчивость. Мэй назвал наблюдаемый феномен «змеей в математической траве». Каждое удвоение соответствовало разветвлению, или бифуркации
[128], на графике, и каждое такое разветвление означало, что повторяющаяся последовательность распадалась надвое еще раз. Популяция, ранее бывшая устойчивой, начинала колебаться между двумя различными уровнями каждый второй год. Популяция, менявшаяся в течение двухлетнего цикла, изменялась теперь в течение третьего года и четвертого, переходя, таким образом, к четырехлетнему периоду.
Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую бифуркационную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае – коэффициента воспроизводства популяции в дикой природе, влияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции – по вертикальной. В некотором смысле рост значения параметра знаменует усиление «движущей силы» системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре)популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или бифуркации, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа) – и численность особей может принимать бесконечно много разных значений.
Подобные разветвления наблюдались на графике все чаще и чаще: 4, 8, 16, 32… – и вдруг внезапно прекращались. После определенной точки, «точки накопления», периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали, и поэтому целые зоны на графике были полностью затушеваны. Наблюдая за популяцией животных, описанной этим простейшим нелинейным уравнением, можно счесть происходящие год за годом перемены совершенно случайными, привнесенными извне. Тем не менее в самой гуще подобной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, хотя параметр продолжает возрастать, увеличивая нелинейность системы, неожиданно обозначается просвет с регулярным, хотя и странным периодом вроде 3 или Модель меняющейся популяции повторяет саму себя в течение трехлетнего или семилетнего цикла. Затем снова, но уже в более высоком темпе, начинаются разветвления, которые удваивают период, быстро минуя новые циклы (3, 6, 12… или 7, 14, 28…) и вновь обрываясь с рождением нового хаоса.
Первоначально Мэй не представлял себе всю картину, однако тех ее фрагментов, которые он смог просчитать, было достаточно, чтобы вызвать беспокойство. В реальной системе наблюдатель видел бы каждый раз лишь вертикальный срез, соответствующий только одному значению параметра, а значит, наблюдал бы только один из типов поведения – может быть, стабильное состояние, может быть, семилетний цикл, а может, видимую невооруженным глазом беспорядочность. Невозможно было бы догадаться, что одна и та же система при небольшом изменении одного из параметров способна обнаружить совершенно непохожие друг на друга типы поведения.
В своей работе «Период три рождает хаос» Джеймс Йорк с математической точностью проанализировал описанные явления, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тройным периодом, то в этой же системе есть как регулярные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичное поведение. Это открытие подействовало на физиков вроде Фримена Дайсона словно электрошок, так как противоречило интуиции. Им казалось вполне тривиальной задачей построение системы, которая повторяет саму себя в трехпериодных колебаниях без всякого проявления хаоса. Йорк доказал, что это невозможно.
Окна устойчивости внутри хаоса. Применение даже самого простого уравнения показывает, что области хаоса на бифуркационной диаграмме имеют весьма замысловатую структуру – гораздо более упорядоченную, нежели Роберт Мэй мог поначалу предположить. Сначала в результате бифуркаций рождаются периодические траектории с периодами 2, 4, 8, 16… Затем начинается хаос, в котором нельзя проследить никакие периоды. Но после этого, когда система все больше дестабилизируется, появляются окна с нечетными периодами. Окно устойчивости появляется при периоде 3, а затем снова начинается удвоение периодов: 6, 12, 24… Структура оказывается бесконечно сложной. Если увеличить какой-либо из ее фрагментов, то окажется, что он похож на весь график в целом.
Хотя подобное предположение выглядело весьма смелым, Йорк счел, что общественный резонанс, вызванный его работой, перевесит ее математическое содержание, и отчасти оказался прав
[129]. Несколько лет спустя он прибыл на международную конференцию в Восточный Берлин. По окончании докладов Йорк решил немного прогуляться по городу и прокатиться по реке Шпрее. Во время прогулки с ним попытался заговорить какой-то русский. Обратившись за помощью к знакомому поляку, Йорк понял, что это русский математик, утверждающий, что он достиг идентичного результата. Собеседник Йорка отказался вдаваться в детали, пообещав лишь выслать свою статью, которая пришла к Йорку спустя четыре месяца. Как выяснилось, Александр Шарковский
[130] несколько опередил Йорка, написав статью под названием «Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя»
[131]. Однако Йорк предложил больше, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, устойчив и структурирован. Он также дал основания поверить в то, что сложные системы, традиционно сводившиеся к трудным для решения дифференциальным уравнениям, могут быть описаны с помощью довольно простых диаграмм.
