Здесь мы можем провести прямую аналогию с нашим многоуровневым гаражом. Точно так же как полярный исследователь, пройдя по пандусу, окажется на другом уровне гаража, так волны треугольника поменяют знак, если «обойти» вокруг диаболической точки: «верхняя» часть каждой волны станет «нижней», и наоборот. Ключевая разница состоит в том, что прогулка по пандусу гаража — это прогулка в реальном пространстве, тогда как «прогулка» Берри и Уилкинсона — это теоретическая прогулка по математическому конструкту. Воспользовавшись этой методикой, они нашли в своем множестве треугольников немалое число диаболических точек.
Изменение волны в данном случае верно было бы назвать топологической фазой. Топология — область математики, в которой объекты различаются по тому, как соединены составляющие их части; сфера, к примеру, отличается от бублика, потому что в бублике есть отверстие, а в сфере — нет. Многоуровневый паркинг, в свою очередь, отличается от множества уложенных друг на друга параллельных плоскостей, потому что в паркинге уровни связаны пандусами. В случае топологической фазы Берри и Уилкинсона максимальное изменение, которого можно было бы ожидать при переходе с одного «уровня» на другой, — это смена знака волны.
Эта топологическая фаза указывала на приближение глубокого прорывного открытия. «Момент зачатия», как называл его Берри, пришелся на весну 1983 г., когда он представил свою работу в Технологическом институте Джорджии. Берри и до этого замечал, что диаболические точки могут существовать только в случае, когда на частицу в треугольном «ящике» не действуют магнитные поля. Он продолжил мысль:
Таким образом, если к частице в треугольниках приложить слабое магнитное поле, диаболические точки должны исчезнуть. В конце лекции Рональд Фокс (в то время заведующий кафедрой физики) спросил, что происходит со сменой знака, когда включается магнитное поле.
Это был спусковой крючок, момент зачатия. Я немедленно ответил: «Полагаю, фаза изменяется на величину, отличную от π, — и тут же дал необдуманное обещание: — Я разберусь с этим сегодня и отвечу завтра». На самом деле потребовалось несколько недель, чтобы как следует разобраться в геометрической фазе.
Берри понял, что квантовая частица, медленно прошедшая через цепочку изменений и приведенная вновь в первоначальные условия, может тем не менее оказаться при этом в состоянии, отличном от начального. Он показал также, что изменение, которое накапливается в этом процессе, зависит от базовой математической геометрии квантовой системы, о которой идет речь, то есть это геометрическая фаза. Берри наткнулся на неоцененную прежде общую черту многих квантовых систем. Свою работу он опубликовал в 1984 г.
Предположим — в случае треугольного «ящика», — мы начинаем с электрона в «ящике» в форме равностороннего треугольника и прикладываем магнитное поле. Затем форма «ящика» медленно искажается таким образом, что суммарное изменение X и Y проводит его непрерывно через различные формы и приводит обратно в равносторонний вид. Берри показал, что, хотя «ящик» в конце возвращается в ту же форму, какую имел первоначально, окажется, что волна квантовой частицы при этом накопила другую фазу, значение которой связано с математической геометрией всего множества треугольных «ящиков».
Здесь, наконец, связь с маятником Фуко становится явной. В точности как маятник, пронесенный по замкнутой траектории вдоль широтной линии Земли, качается в направлении, отличном от начального, так и квантовая частица, пронесенная по замкнутому пути через некоторое множество изменений системного параметра, оказывается в состоянии, отличном от начального. И кошка, проделывая последовательность движений отдельными сегментами тела и возвращая тело в первоначальную форму, оказывается в конечном итоге в другой ориентации по сравнению с начальной. И задача падающей кошки, и маятник Фуко представляют собой примеры того накапливаемого изменения состояния, которое называют геометрической фазой.
Несмотря на прорывной характер работы, Берри был поначалу разочарован, когда узнал, что другие исследователи до него делали небольшие шаги в том же направлении. Так, пара авторов в 1979 г. отмечала аналогичные фазы волн сталкивающихся атомных ядер. Однако ситуация, в которой оказался Берри, чем-то напоминала обстоятельства Эйнштейна. После того как в 1905 г. Эйнштейн опубликовал статью, в которой сформулировал специальную теорию относительности, выяснилось, что и до него многие исследователи время от времени складывали отдельные элементы его теории. Но только Эйнштейн собрал все эти элементы воедино и показал их широкое значение. Аналогично работа Берри продемонстрировала ученому сообществу, что геометрическая фаза имеет отношение ко множеству различных аспектов в квантовой физике и за ее пределами.
Одной из областей, на которые эта теория уже неосознанно распространилась, была оптика. Когда Берри в 1986 г. посетил Индию, коллеги обратили его внимание на работу по поляризации света, которую провел в 1950-е гг. Шиварамакришнан Панчаратнам. Когда Джеймс Клерк Максвелл в 1860-е гг. продемонстрировал, что свет — это электромагнитная волна, он одновременно показал, что свет состоит из электрической волны и магнитной волны, колеблющихся синхронно и перпендикулярно направлению, в котором распространяется волна; характер колебаний электрической волны называется поляризацией света. Если бы мы могли посмотреть точно навстречу лучу света и увидеть в нем стремительные колебания электрической волны, то движение этой волны очень напоминало бы один из возможных вариантов движения маятника Фуко при взгляде сверху.
«Состояние» поляризации — это форма эллипса, образованного электрической волной; угол наклона эллипса можно изменить при помощи различных оптических устройств (таких как поляризующие солнечные очки). Панчаратнам исследовал поведение света в процессе того, как поляризация изменяется непрерывно, переходя из начального состояния через множество различных состояний обратно в начальное. Он обнаружил, что колебания электрического поля после такого перехода оказывались слегка несинхронными по отношению к колебаниям исходного поляризованного состояния; этот эффект можно было объяснить только конкретным характером изменения поляризации исходного света. Таким образом, Панчаратнам нашел один из первых образцов геометрической фазы. Вскоре после того, как эта связь была установлена, Берри написал статью с объяснениями, в которой воздал должное и Панчаратнаму.
На установление связи между падающими кошками и геометрической фазой потребовалось немного больше времени. В 1990 г. Джеррольд Марсден, Ричард Монтгомери и Тудор Ратиу написали объемную монографию на тему следствий и приложений геометрической фазы в механических системах со множеством движущихся частей. Кошка также удостоилась короткого упоминания в этом контексте: «В этих условиях можно сформулировать интересные вопросы оптимального управления, такие как: „Когда кошка падает и переворачивается в полете (обладая все это время нулевым моментом импульса!), оптимально ли она это делает в терминах, скажем, затрачиваемой энергии?“». В качестве примера поворотов с нулевым моментом импульса авторы приводят «человеческий» вариант того, в чем мы узнаем модель падающей кошки Пеано, в которой главную роль играет хвост-пропеллер; авторы назвали такое поведение «шапкой Элроя». Представим себе человека в нормальном вертикальном положении, на голову которого надета шапка с пропеллером на макушке. Если этот человек находится в свободном падении и пропеллер на шапке вращается, то человек должен вращаться в противоположном направлении, по закону сохранения момента импульса. Однако, поскольку человек намного тяжелее пропеллера, его тело с каждым оборотом пропеллера будет лишь немного поворачиваться. Соответственно, после возвращения пропеллера в начальное положение система человек — шапка в целом будет иметь немного иную ориентацию.
