Иоганн Кеплер
ПОЧЕМУ ЗНАЧЕНИЕ D = 3 ОСОБЕННОЕ
У нашего пространства три измерения. Существуют точки (ноль измерений), линии (одно измерение), плоскости (два измерения) и тела (три измерения). Но на этом нам придется остановиться, хотя с точки зрения математики мы можем представить себе пространство, в котором измерений больше. Что же в числе 3 такого особенного? С классических времен геометры заметили любопытные черты разных измерений. Например, в двух измерениях мы можем нарисовать правильный многоугольник с любым количеством равных сторон (равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и т. д.). Но в трех измерениях есть только пять платоновских «правильных тел», в которых равны все стороны и углы. В четырех измерениях таких объектов шесть, а в более высоких измерениях – всего по три.
Одно из следствий трехмерного мира состоит в том, что такие силы, как тяготение и электричество, подчиняются закону обратных квадратов, т. е. сила или заряд становятся в четыре раза слабее, если расстояние увеличивается в два раза. Майкл Фарадей в своих новаторских трудах по электричеству использовал графический способ (по сути правильный), чтобы понять это. Он представил «силовые линии», исходящие от каждого заряда или массы, при этом величина силы зависит от концентрации этих линий. На расстоянии r линии распространяются по площади, пропорциональной r2; на бо́льших расстояниях, таким образом, действие силы ослабевает. Ее величина обратно пропорциональна r2. Тем не менее площадь четырехмерной «сферы» будет изменяться пропорционально r3, и если удвоить r, то она станет не в четыре, а в восемь раз больше. Так, размышления Фарадея будут выражать закон обратных кубов.
Как понял Ньютон, траектории планет управляются равновесием между действием силы тяготения, которая тянет их вовнутрь, и центробежным эффектом их движения. Орбиты в Солнечной системе стабильны в том смысле, что небольшие изменения скорости планеты изменяют ее орбиту очень незначительно. Но эта стабильность исчезнет, если тяготение не будет опираться на закон обратных квадратов, а начнет следовать закону обратных кубов (или закону с еще более круто наклоненным графиком зависимости). Тогда, если движущаяся по орбите планета хоть чуть-чуть замедлится, она не просто перейдет на чуть меньшую орбиту, а ее затянет прямо в Солнце, потому что сила по закону обратных кубов резко возрастает по направлению к центру. Напротив, если идущая по орбите планета чуть-чуть ускорится, она быстро уйдет по спирали во внешнюю темноту.
Английский философ XVIII в. Уильям Пейли знаменит своим доводом о том, что видимое строение нашей Вселенной подразумевает существование Творца точно так же, как часовой механизм подразумевает часовщика. В Кембридже Пейли получил достаточно хорошую подготовку в области математики, чтобы оценить эту тайную черту закона обратных квадратов и включить ее в свою защиту довода о Творце всего сущего. Большинство из его «доказательств творения» происходили из биологии и были опровергнуты даже теологами в постдарвиновскую эпоху. Впечатляющие адаптивные возможности глаз, конечностей и т. д. являются результатом естественного отбора, симбиоза между живыми организмами и средой их обитания. Довод Пейли о том, что закон обратных квадратов особенно подтверждает высшую благодать, сейчас кажется одним из самых здравых: нет никаких следов естественного отбора в выборе любимого закона действия сил, и ничто не могло воздействовать на Вселенную так, чтобы его изменить. Пейли писал более чем за 100 лет до того, как стало понятно, что атомы состоят из положительно заряженного ядра и электронов, вращающихся вокруг него; иначе он смог бы укрепить свою позицию, заметив, что по подобным причинам атомы были бы невозможны во Вселенной, управляемой законом обратных кубов, потому что в ней не было бы стабильных орбит у электронов.
Таким образом, если количество пространственных измерений превышает три, возникает проблема. Могли бы мы жить в мире, где их меньше чем три? Лучший довод здесь – самый простой: во «Флатландии»
[40] (или, на самом деле, на любой двухмерной поверхности) существуют принципиальные ограничения сложных структур. Невозможно создать компьютерную сеть без перекрестных соединений, и точно так же ни у какого объекта не может быть сквозного канала (например, представим себе пищеварительный тракт) без двух сторон. А в одномерном «Линейноземье» ограничения будут еще жестче.
Это только самые очевидные причины – а математики нашли и другие – того, почему мы не должны удивляться, что живем в трехмерном пространстве.
ВРЕМЯ И ЕГО СТРЕЛА
Время, конечно, является четвертым измерением, которое мы можем ощутить на себе. Чтобы обозначить событие, нам нужно четыре числа: три пространственные координаты, чтобы описать, где оно произошло, и четвертая, которая сообщает, когда оно случилось. Одно из граффити неизвестного автора гласит: «Время – это способ природы сделать так, чтобы все не происходило одновременно». Как бы то ни было, события разворачиваются вереницей вдоль дорог, веховыми столбами на которых служат стрелки часов. Но время отличается от других трех измерений, поскольку, по всей видимости, по нему мы можем двигаться только в одном направлении – «вперед», тогда как в трех других мы можем пойти в любом направлении (на восток, на запад, на север или на юг; вверх или вниз). Таким образом, нашу Вселенную лучше всего описывать как имеющую 3+1 измерения. Согласно учению Эйнштейна, пространство и время связаны и скорость, с которой идет время, «эластична», зависит от того, не находится ли владелец часов около большой массы. Но в идеях Эйнштейна сохраняется различие между пространством и временем – между тем, что находится вокруг нас, и тем, что лежит в прошлом или будущем.
«Стрела времени» настойчиво движется из прошлого в будущее. Кадры, где сняты повседневные события, смотрятся совершенно иначе, если прокрутить их задом наперед. Причина и следствие меняются местами: разбитые осколки стекла и капли жидкости выглядят так, будто целенаправленно торопятся собраться в бокал с вином. Пар, вырывающийся из чайника, конденсируется в воду. В ироническом романе Мартина Эмиса «Стрела времени»
[41], где время перевернуто, нью-йоркские таксисты «платят тебе вперед и ни о чем не спрашивают… Неудивительно, что мы потом стоим по нескольку часов, прощально махая или салютуя – отдавая должные почести такому прекрасному сервису».
Асимметрия между прошлым и будущим настолько прочно укоренилась в нашем сознании, что лишь немногие, не считая некоторых философствующих физиков, останавливаются, чтобы поразмыслить о загадках, которые она ставит перед нами. Она приводит в замешательство, потому что в основные законы, управляющие микромиром, подобная асимметрия не встроена. Мир меняется безвозвратно, хотя лежащие в его основе законы безразличны к прошлому и будущему. Кадры, на которых заснято одно-единственное столкновение двух бильярдных шаров, будут выглядеть более-менее одинаково независимо от того, прокручивают их вперед или назад, но запись всех столкновений в игре отчетливо отображает «стрелу времени». Подобным же образом наш мир выглядит направленным по определенному пути.
