Чтобы понять эту стенографию, давайте мысленно вернемся в один из ресторанчиков, где Эйнштейн любил сидеть в своей студенческой юности. Допустим, меню очень скудное: предлагается лишь шницель и пиво. Допустим, для экономии времени официанты не записывают заказы полностью, а просто заполняют небольшие таблицы, которые заранее напечатаны у них в блокнотах.
Если официант приносит на кухню заказ вида
1 0
0 1
– повар знает, что нужно подать двойной шницель (потому что первая единица внесена в клетку, где пересекаются два обозначения шницеля) и двойное пиво (по аналогичной причине) – и больше ничего.
Если повар решит пуститься во все тяжкие и добавить в меню третье блюдо (жареную картошку!), администрации заведения придется заказать новые блокноты, где будут чуть более обширные таблицы. Кстати, лучший вариант жареной картошки в Швейцарии именуют rösti, так что новая сетка будет выглядеть так:
Если теперь официант заполнит свою таблицу так:
0 0 1
0 3 0
0 0 0
– то повар будет знать, что требуются одна порция шницеля с жареной картошкой и три двойных пива. Этот очень вредный, но очень вкусный заказ можно весьма лаконично и эффективно записать таким вот набором чисел.
Допустим, в Цюрихе десятки таких ресторанов, и допустим, что они вдруг решили перестать конкурировать друг с другом. Теперь каждый из них подает каждое блюдо лишь в определенном количестве. Иными словами, в одном заведении каждый клиент может получить лишь одну порцию шницеля с жареной картошкой и три двойных пива – и только это. У входа в другой цюрихский ресторан прохожих завлекает увеличенное изображение листка из официантского блокнота:
1 0 0
0 0 0
0 0 1
– так что все знают, что в этом ресторане предлагают двойной шницель и двойную жареную картошку – и больше ничего. Другие рестораны предоставляют иные возможности, но в каждом заведении набор блюд ограничен и неизменен как в качественном, так и в количественном отношении. При этом набор цифр у входа в заведение покажет вам, какие деликатесы вас ждут внутри.
Вернемся теперь к относительности. Допустим, мы заказываем не еду, а форму какой-нибудь вселенной. Прежде всего следует узнать, каковы составляющие ее измерения (эквиваленты шницеля, пива и картошки). Для двухмерного пространства (подобного тому, где обитал наш мистер Квадрат) эти компоненты – изменения расстояния в направлении восток – запад (обозначим их как dx) и изменения расстояния в направлении север – юг (dy).
Эти компоненты мы и занесем в исходную таблицу официанта. Чтобы ее заполнить, нужно узнать, какие сочетания этих компонентов доступны. А когда мы обзаведемся этими двумя наборами данных (позволяющими нарисовать таблицу и заполнить ее), мы многое узнаем о том мире, который собираемся исследовать.
Официантская таблица упрощенно показывает нам, что такое метрический тензор. Само название свидетельствует о многом. Меры расстояния с использованием греческого корня «метрон» начали применяться после того, как в XVIII веке появилась новая система мер – французская. Эту систему назвали метрической. Метрика – просто некий способ организации объектов, позволяющий показать их взаимосвязь. Наборы чисел, которые используются как заказы в наших сверхэффективных цюрихских ресторанах, определяют, как соотносятся друг с другом компоненты блюд. Это ресторанная метрика, то есть способ организации таких объектов. Набор чисел, служащий «заказом» для наших вселенных, определяет, как их компоненты (пространственные элементы) соотносятся друг с другом.
Сотворение нашего мира
Во Флатландии, где проживает мистер Квадрат, такая сетка позволяет получить четыре различные смеси dx и dy и различные количества этой «востоко-западности» или «северо-южности». Пустая таблица здесь выглядит так:
Как ее заполнить? Мы знаем, что на плоскости по определению должна соблюдаться теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике со гипотенузой ds и катетами dx и dy эти три стороны связаны соотношением dx² + dy² = ds². Поэтому флатландскую «таблицу заказа» можно заполнить так:
Иными словами, в таком ресторане можно заказывать двойное dx или двойное dy, но не их смеси. Все очень аккуратно: прямоугольные треугольники плотно прилегают друг к другу, квадраты не вспухают в стороны, и логично предположить, что время здесь тоже будет находиться «под прямым углом» по отношению к пространству. Комбинируйте составные части самым напрашивающимся образом, и вы создадите Флатландию. Господь вопрошает в Книге Иова: «Где был ты, когда Я полагал основания земли?.. Кто положил меру ей… или кто положил краеугольный камень ее?» Мы показали наиболее подходящий светский способ, каким это можно проделать.
Замечательно в этом методе то, что его можно легко распространить на большее число измерений. Допустим, некое благосклонное божество взирает сверху вниз на свое царство, заказывает побольше компонентов и – глядите! – возникает ресторан… то есть вселенная…. где таблица заказов куда обширнее.
Эйнштейновские уравнения выстроены на основе схожих сеток, но позволяют существовать весьма различным мирам. Конечно, эти таблицы побольше флатландских, и заполнять приходится не два ряда по две ячейки в каждом (позволяющие создать пространство лишь из двух измерений – «восточно-западного» и «северо-южного»), а таблицы 4×4, чтобы удалось скомбинировать три пространственных измерения и еще одно измерение – время. Кроме того, обычно эти эйнштейновские сетки заполняются не такими простыми «заказами», как флатландская, где по диагонали идет череда единиц, означающая, что вам могут принести лишь одну порцию каких-то блюд, а какие-то блюда вообще никогда не могут сочетаться. В четырехмерном мире соответствующая таблица заказов выглядела бы так:
