Бекенштейн подозревал, что добавление лишнего бита к черной дыре вызовет прирост ее размера, пусть и очень небольшой, подобно тому как добавление лишней молекулы резины к воздушному шарику ненамного его увеличит. Однако для вычисления этого прироста требуется несколько промежуточных шагов. Давайте сначала бегло с ними ознакомимся.
1. Первым делом надо узнать, насколько увеличится энергия черной дыры при добавлении одного бита информации.
2. Далее нужно определить, насколько изменится масса черной дыры с добавлением лишнего бита. Для этого вспомним знаменитую формулу Эйнштейна:
E = mc2
Однако нам понадобится обратить ее, что позволит узнать изменение массы по величине добавленной энергии.
3. Когда масса определена, можно вычислить изменение шварцшильдовского радиуса, используя ту же формулу, которую вывели Митчел, Лаплас и Шварцшильд (см. главу 2):
Rs = 2MG/c2
4. Наконец, надо определить прирост площади горизонта. Для этого нужна формула площади сферы:
Площадь горизонта = 4πRs2.
Начнем с энергии однобитного фотона. Как я уже объяснял, фотон должен иметь достаточно большую длину волны, чтобы его положение внутри черной дыры было неопределенным. Это значит, что длина волны должна быть Rs. Согласно Эйнштейну, фотон с длиной волны Rs имеет энергию E, определяемую следующей формулой:
[72]
Е = hc/Rs.
В этой формуле h — постоянная Планка, а с — скорость света. Из нее следует, что сбрасывание в черную дыру одного бита информации добавляет ей энергию величиной hc/Rs.
Следующий шаг — это расчет изменения массы черной дыры. Для пересчета энергии в массу ее надо разделить на с2, а значит, масса черной дыры возрастет на величину h/Rsc:
Изменение массы = h/Rsc.
Подставим в эту формулу числа, чтобы увидеть, сколько же добавит один бит к массе черной дыры, имеющей массу Солнца.
Постоянная Планка, h = 6,6x10-34
Шварцшильдовский радиус черной дыры, Rs = 3000 м
Скорость света, с = 3х108
Гравитационная постоянная, G = 6,7х10-11
Таким образом, один бит информации добавляет к черной дыре солнечной массы поразительно малую величину:
Прирост массы = 10-45 килограмма.
И все же, как говорится, «это больше, чем ничто»
[73].
Перейдем к третьему шагу: используем связь между массой и радиусом для вычисления изменения Rs. В алгебраической форме ответ будет таким:
Прирост Rs = 2hG / (Rs с3).
У черной дыры солнечной массы Rs составляет около 3000 м. Если подставить все числа, то окажется, что радиус увеличится на 10-72 м. Это не только безмерно меньше протона, но также безмерно меньше планковской длины (10-35 м). При таком малом изменении непонятно, зачем мы вообще это вычисляем, но было бы ошибкой пренебречь этой малостью.
Последний шаг состоит в определении того, насколько изменится площадь горизонта. Для черной дыры солнечной массы прирост площади горизонта составляет около 10-70 квадратного метра. Это очень малая величина, но опять, «это больше, чем ничто». И не просто больше, чем ничто, а нечто совершенно особое: 10-70 м2, оказывается, как раз равняется одной квадратной планковской единице.
Это случайное совпадение? Что получится, если взять черную дыру земной массы (размером с клюквину) или черную дыру в миллиард раз массивнее Солнца? Попробуйте — с числами или с формулами. Каков бы ни был исходный размер черной дыры, всегда выполняется правило:
Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу.
Каким-то образом в принципах квантовой механики и общей теории относительности скрыта загадочная связь между невидимыми битами информации и кусочками площади планковского размера.
Когда я объяснил все это на своем подготовительном курсе по физике в Стэнфорде, кто-то на заднем ряду протяжно присвистнул и произнес: «Кру-у-уто». Это действительно круто, а еще глубоко и, вероятно, содержит ключ к загадке квантовой гравитации.
Теперь представьте формирование черной дыры бит за битом, так же как можно наполнять ванну атом за атомом. Каждый раз при добавлении бита информации площадь горизонта прирастает на одну планковскую единицу. К тому времени, когда черная дыра будет готова, площадь ее горизонта окажется равной общему числу битов скрытой в ней информации. Так что главное достижение Бекенштейна можно суммировать тезисом:
Энтропия черной дыры, измеренная в битах, пропорциональна площади ее горизонта, измеренной в планковских единицах.
Или, еще более кратко:
Информация равна площади.
Это выглядит почти так, как если бы горизонт был плотно покрыт несжимаемыми битами информации; сходным образом можно плотно покрывать столешницу монетами.
При добавлении новых монет площадь, занятая всеми монетами вместе, будет расти. Биты, монеты — принцип один и тот же.
Единственная проблема с этой иллюстраций заключается в том, что на горизонте нет монет. Будь они там, Алиса обнаружила бы их, падая в черную дыру. Согласно общей теории относительности, для свободно падающей Алисы горизонт — это невидимая точка невозврата. Сама возможность для нее встретить что-то вроде стола с монетами прямо противоречит эйнштейновскому принципу эквивалентности.
Этот конфликт — очевидная несовместимость между представлением о горизонте как о поверхности, плотно заполненной материальными битами, и как о точке невозврата — и стал казус белли для Битвы при черной дыре.
Другой момент, озадачивающий физиков с момента открытия Бекенштейна: почему энтропия пропорциональна площади горизонта, а не внутреннему объему черной дыры? Кажется, что внутри пропадает огромное количество места. Фактически черная дыра ужасно похожа на Птолемееву библиотеку. Мы еще вернемся к этому вопросу в главе 18, где увидим, что весь мир — это голограмма.
