Вот еще один пример — ванна, полная горячей воды. Как много мы знаем о воде в ванне? Предположим, что она налита в ванну достаточно давно и все заметные течения прекратились. Можно измерить количество воды в ванне (190 литров) и ее температуру (32 градуса Цельсия). Но ванна заполнена молекулами вводы, и, очевидно, очень большое число вариантов размещения молекул соответствует заданным условиям —190 литров воды при 32 градусах Цельсия. Мы сможем узнать намного больше, только если точно обмерим каждый атом.
Энтропия — это мера того, сколь много информации скрыто в деталях, которые по той или иной причине трудно наблюдать. Таким образом, энтропия — это скрытая информация. В большинстве случаев информация бывает скрыта, потому что касается вещей слишком малых, чтобы их увидеть, и слишком многочисленных, чтобы за ними уследить. В случае с водой в ванне это микроскопические подробности, касающиеся молекул воды: положение и движение каждой из миллиардов миллиардов миллиардов молекул воды в ванне.
Что случится с энтропией, если вода охладится до температуры абсолютного нуля? Если отвести от воды всю без исключения энергию, молекулы сами соберутся в уникальную структуру — решетку, которая образует идеальный кристалл льда.
Кристаллическая решетка
И хотя молекулы слишком малы, чтобы их видеть, если вы знакомы со свойствами кристаллов, то сможете предсказать положение каждой молекулы. Идеальный кристалл, подобно идеальному BMW, вообще не имеет энтропии.
Сколько битов можно хранить в библиотеке?
Неоднозначности и тонкие нюансы в использовании языка часто бывают очень важны. Фактически, если бы слова имели идеально точные значения, которые можно заложить в компьютер, язык и литература сильно обеднели бы. Однако научная точность требует высокой степени лингвистической строгости. Слово «информация» означает много разных вещей: «Я думаю, ваша информация ошибочна». «Для информации: у Марса два спутника». «У меня диплом по теории информации». «Вы можете найти эту информацию в Библиотеке Конгресса». В каждом из этих предложений слово «информация» используется по-своему. Только в последнем примере имеет смысл вопрос: «Где находится информация?»
Давайте поразмыслим над этой идеей локализации. Если я скажу вам, что президент Грант похоронен в мавзолее Гранта, вы не усомнитесь, что я сообщил вам порцию информации. Но где находится эта информация? В вашей голове? В моей голове? Она слишком абстрактна, чтобы иметь местоположение? Она рассредоточена по всей Вселенной для использования везде и всеми?
Вот один из очень четких ответов: информация находится на странице, сохраненная в виде физических букв, состоящих из углерода и других молекул. В этом смысле информация — это конкретный предмет, почти субстанция. Она настолько конкретная, что информация в вашей книге и в моей книге — это разная информация. В вашей книге сообщается, что Грант похоронен в мавзолее Гранта. Вы можете догадываться, что то же самое сказано и в моей книге, но достоверно вам это неизвестно. А вдруг в моей книге сказано, что Грант похоронен в Великой пирамиде в Гизе? На самом деле ни одна книга не содержит этой информации. Информация о том, что Грант похоронен в мавзолее Гранта, находится в мавзолее Гранта.
В том понимании, в каком физики используют это слово, информация состоит из материи
[64] и где-то находится. Информация в этой книге — это прямоугольный том, размером 25 сантиметров на 15 сантиметров на 2,5 сантиметра, то есть 25x15x2,5 или примерно 940 кубических сантиметров
[65]. Сколько битов информации скрыто между ее обложками? В печатной строке хватает места примерно на 70 символов — букв, знаков пунктуации и пробелов. При 37 строках на странице и 350 страницах это будет почти миллион символов.
Клавиатура моего компьютера содержит около 100 символов, включая буквы верхнего и нижнего регистра, цифры и знаки пунктуации. Это означает, что число различных сообщений, которые могут содержаться в этой книге, — около сотни, перемноженной на себя миллион раз, другими словами —100 в миллионной степени. Это количество — колоссальное, кстати, число — можно получить, возведя двойку в степень около 7 миллионов. Таким образом, книга содержит примерно 7 миллионов битов информации. Иначе говоря, если бы я писал книгу азбукой Морзе, мне потребовалось бы 7 миллионов точек и тире. Поделив их на объем книги, получаем примерно 7400 битов на кубический сантиметр. Это плотность информации в данной стопке печатных страниц.
Однажды я прочитал, что великая Александрийская библиотека перед тем, как ее сожгли дотла, содержала триллион битов информации. Хотя она и не относилась к официальным семи чудесам света, библиотека была тем не менее одним из величайших сокровищ Античности. Построенная во времена правления Птолемея I, она, говорят, содержала среди полумиллиона пергаментных свитков копию любого когда-либо составленного важного документа. Неизвестно, кто ее сжег, но мы уверены, что дым унес огромное количество бесценной информации. Но сколько именно? Я полагаю, что на древнем свитке помещалось около пятидесяти современных страниц. Если эти страницы были подобны тем, что вы читаете, то свиток содержал около миллиона битов плюс-минус несколько сотен тысяч. В таком случае библиотека Птолемея могла содержать полтриллиона (1 триллион = 1012) битов — близко к тому, что я читал.
Потеря этой информации — одно из величайших несчастий, с которым приходится мириться сегодня ученым, исследующим Древний мир. Но могло быть и хуже. Что, если каждый уголок, каждый доступный кубометр был заполнен книгами вроде этой? Я не знаю точно, насколько велика была Александрийская библиотека, но, допустим, 60x30x12 метров, или около 22 тысяч кубических метров, — размер не самого маленького современного общественного здания. Это 22 миллиарда кубических сантиметров. Зная это, легко оценить, сколько битов могло содержаться в здании. При плотности 7400 битов в кубическом сантиметре получается 1,6х1014 битов. Колоссально.
Но зачем привязываться к книгам? Если каждую книгу сжать до одной десятой ее объема, то можно упаковать в 10 раз больше битов.
Перенос содержания на микрофиши позволит хранить еще больше. А если все книги оцифровать, то еще больше.
