Рис. 6.4. В Академии Платона было доказано, что существуют лишь пять правильных многогранников. Для Платона они представляли огонь, землю, воздух, воду и небесное вещество. Кеплер видел в этих формах возможную основу архитектуры Вселенной (в это время Солнечная система ограничивалась сферой неподвижных звезд).
Пути Кеплера и Браге пересекаются.
В 1588 году Тихо Браге потерял своего благодетеля: король Фредерик II умер. В последующие годы его отношения с королевским двором ухудшались. В 1596 году, после коронации преемника престола Кристиана, хозяина острова Вен лишили ежегодных выплат. После этого Тихо уже не мог оставаться на своем острове. Он покинул Данию навсегда и вначале жил в Гамбурге, а несколько последних лет своей жизни провел в Праге. Он умер в 1601 году, как говорят, после обильного ужина с возлиянием. Лежа на смертном одре, он повторял один и тот же вопрос — была ли его жизнь хоть чем-то полезна? И как живой ответ на этот отчаянный вопрос, у его постели стоял молодой человек — Иоганн Кеплер.
Тихо Браге получил книгу «Космографическая тайна» в подарок от Кеплера в 1597 году. Он понял, что автор должен быть очень талантливым юношей. Когда в 1600 году император Германии Рудольф II назначил Браге на должность императорского математика в Праге, Тихо решил пригласить Кеплера. Впервые они встретились в феврале в замке Бенатек близ Праги, через несколько дней после казни Джордано Бруно на костре в Риме. Кеплер остался у Браге до лета, затем вернулся в Грац и узнал, что больше не нужен университету. Он вернулся в Прагу и начал помогать Браге. Так начался один из важных периодов в жизни Кеплера. После смерти Браге в 1602 году он стал императорским математиком с зарплатой вдвое меньшей зарплаты предшественника. Проделав кропотливый анализ наблюдений Браге за планетой Марс, Кеплер открыл законы движения планет вокруг Солнца. Можно сказать, что так была решена задача Платона, поставленная за два тысячелетия до этого.
Новые законы космического порядка.
Долго можно рассказывать о том, как Кеплер пришел к своим новым, революционным взглядам на движение планет. Впервые посетив Тихо Браге, он очень заинтересовался получением от Тихо более точных значений минимального и максимального расстояний планет на их орбитах. Ему очень хотелось продолжить свои попытки подогнать планетные орбиты к идеальным телам. После некоторых сомнений Тихо позволил Кеплеру собрать все его наблюдения Марса.
Вначале Кеплер пытался понять движение Марса, следу я старому принципу кругового движения. После года борьбы с кругами и эпициклами он пришел к выводу, что с их помощью нельзя объяснить движение Марса. Фактически все упиралось в небольшое отклонение в 8 упрямых минут дуги, которые Кеплер никак не мог объяснить с помощью кругов. Кеплер ясно понимал, насколько важно проверить теоретические выводы с помощью точных наблюдений. Точность Тихо, равная 2', была выше, чем отклонение. Кеплер отмечал, что «эти 8 минут дуги, которые я не могу отбросить, приведут к полному изменению астрономии».
Затем, вопреки вековой традиции, он использовал эллиптическую орбиту для объяснения движения Марса. Эллипсы были известны еще со времен Аполлония (см. главу 3), изучавшего эти кривые наряду с другими коническими сечениями — гиперболой и параболой. Любопытно, что он же был и автором теории эпициклов в движении планет. Ему, как и всем остальным до Кеплера, не приходило в голову, что планеты могут двигаться по эллипсам. Эллипс является вытянутой замкнутой орбитой, тогда как окружность — лишь частный невытянутый вариант эллипса.
Работа всей жизни Кеплера выразилась в трех законах. Два первых появились в его книге «Новая астрономия» (1609), а третий закон — в книге «Гармония мира» (1619). Представленный выше первый закон формулировался так.
1. Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем в одном из фокусов эллипса расположено Солнце.
На самом деле Кеплер открыл свой второй закон раньше первого. Он обнаружил, что Земля медленнее движется по своей орбите, когда она дальше от Солнца, и быстрее — когда ближе. Скорость перемещения по траектории не остается постоянной при движении по эллипсу вокруг Солнца, а ведет себя так:
2. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, заметает одинаковые площади за одинаковое время.
Чтобы понять второй закон, представим заметаемую область в виде треугольника с вершиной у Солнца и основанием в виде короткой дуги, по которой планета перемещается по орбите за единицу времени. Треугольник будет узким и вытянутым, когда планета вдали от Солнца, и широким — когда она близко, но площади обоих треугольников будут равны (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Первый закон Кеплера: планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Солнце расположено в одной из двух фокальных точек. Второй закон Кеплера: планета движется с переменной скоростью, так что радиус-вектор заметает равные площади за равные интервалы времени (то есть чем ближе к Солнцу, тем быстрее движется). Третий закон Кеплера: период обращения планеты вокруг Солнца зависит от размера ее орбиты так, что квадрат периода пропорционален кубу среднего расстояния от Солнца.
Третий закон Кеплера сравнивает размеры орбит и орбитальные периоды любых двух планет. Обычно их сравнивают с Землей, поэтому для любой планеты используют в качестве единицы времени земной год, а в качестве единицы длины — расстояние от Земли до Солнца (а. е.). Размер орбиты (а) равен половине большой оси эллипса. Размеры орбит и продолжительность полного оборота планеты по орбите (Р) связаны следующим образом:
3. Квадраты орбитальных периодов планет пропорциональны кубам полуосей их орбит.
Интересно посмотреть, с какой точностью Кеплер мог проверить свой третий закон, используя имеющиеся значения, приведенные в «Гармонии мира». В табл. 6.1 верхний ряд представляет квадрат орбитального периода Р для каждой планеты: Р2 = Р х Р (единица измерения — год). А нижний ряд точно так же представляет кубы «а» — среднего расстояния от Солнца: а3 = ах ах а (в единицах среднего расстояния Земли = 1 а. е.). Соответствующие наблюдательные ошибки в верхнем и нижнем рядах практически одинаковы.
Таблица 6.1. Значения орбитальных параметров, вычисленные Кеплером для проверки его третьего закона.
Кеплер работал в Праге до 1612 года. Это было самое плодотворное время в его карьере, несмотря на непрерывные экономические проблемы и личную трагедию (умерли его жена и маленький сын). В дополнение к «Новой астрономии» он опубликовал три книги по оптике (около четверти из опубликованных им работ посвящены свету и оптике).
