Книга Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике, страница 98. Автор книги Джон Дербишир

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»

Cтраница 98
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Рисунок 19.4. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике .

Конечно, площадь под графиком функции J бесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота 1/2, длина бесконечна, площадь 1/2×∞ = ∞). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию J справа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s (которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента x умножим J(x) на xs−1. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда xs−1 = x−2,2 или, другими словами, 1/x2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15−2,2 равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)xs−1 имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)xs−1 равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)xs−1 при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике ?

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Рисунок 19.5. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике при s = 1,2.

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 22 до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 23 до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число, Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике это то же самое, что Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике . Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3), т.е. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике , равен Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике — другими словами, s умножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5)? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3), деленной на s! А выражение (19.4) плюс выражение (19.5) плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3), деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике , равна просто выражению (19.3), деленному на s. Но выражение (19.3) равно ln ζ(z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Золотой Ключ (аналитический вариант) (19.6)

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация