Онлайн книга «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»
| Исследователь(и) | Дата опубликования | Число нулей с вещественной частью 1/2 | ||
|---|---|---|---|---|
| Й. Грам | 1903 | 15 | ||
| Р.Дж. Бэклунд | 1914 | 79 | ||
| Дж. И. Хатчинсон | 1925 | 138 | ||
| Э.Ч. Титчмарш и др. | 1935-1936 | 1041 | ||
| А.М. Тьюринг | 1953 | 1054 | ||
| Д.Х. Лемер | 1956 | 25 000 | ||
| Н.А. Меллер | 1958 | 35 337 | ||
| Р.Ш. Леман | 1966 | 250 000 | ||
| Дж. Б. Россер и др. | 1969 | 3 500 000 | ||
| Р.П. Бренти др. | 1979 | 81 000 001 | ||
| X. те Риле, Я. ван де Луне и др. | 1986 | 1 500 000 001 | ||
Таблица 16.1. Вычисление нулей дзета-функции.
В конце 2000 года ван де Луне довел вычисления до 5 миллиардов нулей дзета-функции Римана, а в октябре 2001 года — до 10 миллиардов. Тем временем в августе 2001 года Себастьян Веденивски, использовав свободные процессорные мощности на 550 офисных персональных компьютерах корпорации IBM в Германии, инициировал проект по дальнейшему развитию этих вычислений. Последний опубликованный результат Веденивски датируется 1 августа 2002 года; число нетривиальных нулей с вещественной частью одна вторая доведено до 100 миллиардов.
Здесь на самом деле происходит несколько вещей сразу, и важно четко их разделять.
Во-первых, не следует смешивать а) высоту вдоль критической прямой и б) число нулей. «Высота» означает просто мнимую часть комплексного числа: высота числа 3 + 7i равна 7. При рассмотрении нулей дзета-функции принято обозначать высоту буквой t или T. (Поскольку мы знаем, что нули симметричны относительно вещественной оси, мы интересуемся только положительными t). Имеется формула для числа нулей вплоть до высоты T:
Это на самом деле очень хорошая формула (первые два слагаемых в ней принадлежат Риману): она дает превосходное приближение уже для достаточно малых значений T. Если не обращать внимания на член с Ο большим [147], то для T, равного 100, 1000 и 10 000 она дает соответственно 28,127, 647,741 и 10 142,090. Истинное же число нулей на этих высотах составляет 29, 649 и 10 142. Чтобы получить значение N(T) величиной в 100 миллиардов, как у Веденивски, требуется взять T равным 29 538 618 432,236… — до такой высоты Веденивски и добрался в своих исследованиях.
Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами T1 и T2 — т.е. внутри прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого задаются числами T1 и T2, отложенными вдоль мнимой оси, а левая и правая сторона — числами 0 и 1 на вещественной оси, как показано на рисунке 16.1. Имеется и другое теоретическое построение, которое позволяет вычислить, сколько нулей расположено на критической прямой между данными высотами. [148] Если два вычисления дают один и тот же результат, то можно считать, что вы тем самым подтвердили Гипотезу Римана в данном интервале. Это можно сделать, имея лишь грубое знание о том, где на самом деле расположены нули. Большая часть таблицы 16.1 относится к работе такого сорта.