Книга Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике, страница 25. Автор книги Джон Дербишир

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»

Cтраница 25

Это следует из определения ln x и из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если a и b — любые два положительных числа, то a×b = eln a×eln b. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем a×b = eln a + ln b. Однако a×b — само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем a×b = eln (a×b). Мы получили два различных выражения для a×b. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.

9-е правило действий со степенями:

ln (a×b) = ln a + ln b.

Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P = Q следует равенство ln P = ln Q) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.

Из того, что ln (a×b) = ln a + ln b, следует, что ln (a×a×a×…) = ln a + ln a + ln a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.

10-е правило действий со степенями:

ln (aN) = N×ln a.

Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а, включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) = −ln a, поскольку 1/а есть не что иное, как a−1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln 1/3 = −1,09861228866…. Вот почему график функции ln x проваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как x делается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.


IV.

Как мы видим, ln x — медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln x возрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln x растет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х2 или х3, а степени типа х0,1.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций xa для малых значений a. Там выбраны a = 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции xa. А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x, пересекает кривую xa до того, как уйти достаточно далеко на восток.

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Рисунок 5.3. Функции xa при малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln x рано или поздно окажется более плоским, чем график xa. Если а больше чем 1/e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же a меньше чем 1/e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x снова пересекает кривую xa, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln x повторно пересекает кривую x0,3 чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x0,1 только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x0,001 только после прохождения точки x = 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции x в степени одна триллионная (т.е. x0,000000000001), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x0,000000000001. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x0. Конечно, это не x0: для любого положительного числа выражение x0 определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x0, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию xε со сколь угодно малым ε и оставаться там уже навсегда. [39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x0,001, и x0,000001, и x0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x)100 рано или поздно будет расти медленнее, чем x0,1, и x0,0001, и x0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функции ln x. Каждая из функций (ln x)2, (ln x)3, (ln x)4, …, (ln x)100, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ε, график функции (ln x)N в конце концов поднырнет под график функции xε и останется там, внизу.

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация