Руководствуясь той же грубой логикой, можно оценить величину N-го простого числа. Рассмотрим отрезок числового ряда от 1 до K для какого-нибудь большого числа K. Если в этом интервале простых чисел, то в среднем следует ожидать, что первым простым, которое мы встретим, будет число К:C, вторым — число 2K:C, третьим — 3K:C и т.д. N-е простое будет находиться где-то около числа NK:C, а C-е (другими словами, последнее простое в этом интервале) окажется около числа K:C, что, понятно, равно просто K. И вот, если верна ТРПЧ, то количество простых чисел C есть К/ln K, а потому N-е простое в действительности встретится вблизи числа NK:(К/ln K), или, другими словами, вблизи числа Nln K. Поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по величине с числом K, здесь можно поменять местами N и K, а потому N-е простое есть по величине ~ N/ln N. Я знаю, что такое рассуждение выглядит небольшим жульничеством, но в действительности оно дает неплохую оценку, которая к тому же становится все лучше и лучше «по принципу волны». Эта оценка предсказывает, например, что триллионное простое число равно 27 631 021 115 929, а на самом деле триллионное простое число есть 30 019 171 804 121, так что ошибка составляет 8 процентов. Выраженные в процентах ошибки для тысячного, миллионного и миллиардного простого числа равны соответственно 13, 10 и 9.
Следствия из ТРПЧ
Вероятность того, что число N простое, ~ 1/ln N.
N-е простое число ~ Nln N.
Эти утверждения не просто следуют из ТРПЧ; сама ТРПЧ также следует из них. Если математически доказать справедливость любого из них, то в качестве следствия получится ТРПЧ. Каждый из этих результатов равносилен ТРПЧ, и его можно считать просто альтернативной формулировкой этой теоремы. В главе 7.viii мы познакомимся с другим, более важным способом переформулировать ТРПЧ.
Глава 4. На плечах гигантов
Первым человеком, которому открылась истина, содержащаяся в Теореме о распределении простых чисел (ТРПЧ), был Карл Фридрих Гаусс, живший с 1777 по 1855 год. Гаусс, как уже говорилось в главе 2.v, вполне может претендовать на звание величайшего математика из всех вообще когда-либо живших. В течение своей жизни он был известен как Princeps Mathematicorum — Князь Математиков, а после его смерти король Ганновера Георг V распорядился о выпуске памятной медали в его честь, с указанием этого титула.
[21]
Гаусс был чрезвычайно невысокого происхождения. Его дед был безземельным крестьянином, а отец — перебивавшимся с места на место садовником и каменщиком. Гаусс ходил в самую скромную местную школу. Знаменитый эпизод, который, как рассказывают, произошел в этой школе, имеет гораздо больше шансов оказаться правдой, чем большинство обычных историй такого рода. Однажды учитель, желая устроить себе получасовой перерыв, дал классу задание сложить друг с другом первые 100 чисел. Почти мгновенно Гаусс бросил грифельную доску на учительский стол со словами «Ligget se!», что на местном крестьянском диалекте того времени означало: «Вот он [ответ]!» Карл мысленно расположил числа горизонтально в порядке (1, 2, 3, …, 100), затем в обратном порядке (100, 99, 98, …, 1), а после этого сложил два списка вертикально: (101, 101, 101, …, 101). Получилось 100 раз число 101, а поскольку числа были выписаны дважды, ответ равен половине этой суммы, т.е. 50 умножить на 101, что равно 5050. Совсем просто, когда вам об этом рассказали, но все же это не тот способ, который сам собой придет в голову обычному десятилетнему мальчику; да и обычному взрослому лет в тридцать тоже, если уж на то пошло.
Гауссу повезло в том, что учителя разглядели его способности и готовы были предпринять некоторые усилия, чтобы их развить. Еще большее везение состояло в том, что ему случилось жить в маленьком германском герцогстве Брауншвейг — в пределах той самой кляксы, что разделяет на две части королевство Ганновер на карте из главы
2.ii. В Брауншвейге в то время правил Карл-Вильгельм-Фердинанд, носивший полный титул герцог Брауншвейга-Вольфенбюттеля-Беверна. Мы уже встречались с ним, хотя в тот момент этого и не подозревали: известный как отважный воин, он носил чин генерал-фельдмаршала прусской армии и командовал теми самыми соединенными прусско-австрийскими силами, которые французы остановили у Вальми 20 сентября 1792 года.
Карл-Вильгельм поступил воистину благородно. Если существует Рай для математиков, то для герцога там должны быть зарезервированы роскошные апартаменты, чтобы он мог останавливаться в них всякий раз, как соберется заехать. Услыхав о таланте мальчика Гаусса, герцог распорядился, чтобы его привели к нему. Молодой Гаусс в тот момент не мог похвастаться значительными успехами на ниве светского этикета. Позднее, в течение своей жизни, после длительного знакомства с дворами и университетами, он производил впечатление человека мягкого и приветливого, но это не могло скрыть грубоватые черты лица и коренастую фигуру, изобличавшие крестьянское происхождение. Однако герцог оказался достаточно проницательным, чтобы с первого же взгляда не ошибиться в мальчике; впоследствии он оставался его другом, пока смерть не разлучила их, и обеспечивал постоянную финансовую поддержку, позволившую молодому Гауссу сделать блестящую карьеру в качестве математика, физика и астронома.
[22]
Возможности герцога по поддержке Гаусса подошли к концу довольно плачевным образом. В 1806 году Наполеон был в зените своего могущества. В кампании предыдущего года он в битве при Аустерлице разбил соединенные войска России и Австрии, предварительно откупившись от пруссаков тем, что предложил им Ганновер. Затем он основал Рейнский союз, поставив под французское влияние всю западную часть современной Германии, и взял обратно свое обещание по сделке с Ганновером, на этот раз предложив его Британии. Против него держались только Пруссия и Саксония, а их единственным союзником была Россия, впрочем, боявшаяся пушек после поражения под Аустерлицем.
