Неудивительно, что в таких обществах изменения в орудиях труда оказывались медленными. А вот у европейских варваров в бронзовом веке, как показывают данные археологии, происходило относительно быстрое улучшение орудий из металла, проявлявшееся как в топорах, так и в боевом оружии.
Однако в тогдашних варварских обществах, как у героев Гомера в Греции бронзового века, даже вождям приходилось работать руками. Более высокопоставленные правители Востока полностью исключались из физического труда и могли даже более ревностно предаваться сражениям.
Переходя от Европы в Азию или Египет, любой археолог удивлялся тому, до какой степени металлические орудия сохранялись в той же самой форме на протяжении двух тысяч лет восточного бронзового века. Что же касается военного снаряжения, то здесь наблюдался небольшой прогресс. Интересно, что легкая колесница появилась вначале в Северной Сирии (которая контролировалась хеттами. — Ред.), позже у арийских правителей Митанни и, наконец, в Египте при гиксосах.
Точно так же и рапиру (точнее, узкий тонкий меч с четырехгранным клинком) изобрели на Крите и начали использовать микенцы. Все выглядело так, как будто восточные правители и военачальники при отсутствии всяческого практического опыта в производстве просто не смогли оценить по достоинству то, что предоставляло им мастерство ремесленников.
Подлинная наука высшей математики, из которой во многом выросла через греков и арабов (точнее, на завоеванных кочевниками-арабами цивилизованных землях Сасанидского Ирана, Индии, провинции Византийской империи. — Ред.) современная математика, была в основе своей создана в храмовых школах Месопотамии, очевидно во время династии Хаммурапи (на шумерском наследии. — Ред.). Ее подъем совпал с небольшим триумфом среднего класса, стимулированного законами Хаммурапи.
Более того, многие примеры, что иллюстрируют процесс, связаны с разделением наследства, сотрудничеством и деловыми операциями. Следовательно, новая математика отвечала социальным потребностям среднего класса. Однако фундаментальным открытием стал побочный продукт, связанный с упрощением письма писцами, обслуживавшими интересы храмов, государственного аппарата и купцов.
В результате упрощения совпали знаки для 1 и 60. В тот же самый период писцы пришли к тому, чтобы принять «гин», первоначально меру веса, эквивалентную одной шестой мины, как постоянную единицу для 1/60, как и на латыни унция начала означать также 1/12. Более того, на практике писцы избавили себя от опущения знака для «гин», одна единица и одиннадцать гин писались просто как
.
С этой точки зрения ученые пошли дальше, чтобы изобразить условно чисто абстрактную систему, в которой единичный символ I обозначал число 60, положительное или отрицательное, то есть 1, 60, 3600… 1/60, 1/3600, в то время как совокупность десяти подобных знаков, то есть 10, 600, 1/6, обозначалась знаком <.
Таким образом, вавилонские арифметики обнаружили себя обладателями новации, основанной на том, что мы называем «вес разряда», ценность знака определялась исключительно его положением по отношению к другим знакам. И вся эта система применялась не только целым числом, но также дробью (целыми цифрами), почти теми же, что и наши десятичные дроби, — только при отсутствии знака для нуля и десятичной точки, представленных как элемент двусмысленности, что оказывалось не слишком значимым в реальной практике.
Так вавилонские храмовые ученые изобрели систему, заставившую их иметь дело со свойствами дробей, которые нельзя было представить с помощью пальцев или фишек, без утомительных подсчетов, ограниченных единицами измерения дробей или кратных частей, являвшихся их предтечами, которые их египетские коллеги все же оказывались вынужденными использовать. Подобные чисто технические улучшения в приспособлениях использовались для подсчетов, фактически делая человека хозяином над всей областью действительных чисел.
В этой связи они устраняли все трудности, которые испытывает начинающий учиться счету и сегодня, пусть читатель вспомнит свои затруднения в школе, собственные опыты с делением.
Как в свое время шумеры вывели таблицу умножения, так теперь их вавилонские преемники составили таблицы обратных величин (обратных дробей), выраженных как шестидесятеричное деление.
Конечно, вавилонскую систему нельзя признать совершенной. Им недоставало цифр, а вплоть до 1-го тысячелетия до н. э. и нуля. Они не обнаружили ничего, соответствующего нашей периодической дроби. Их основа, 60, делилась на огромное количество множителей, 2, 3, 4, 5, 6…, так что большинство дробей оказывалось возможным выразить как достаточно короткие шестидесятеричные доли. Все же в соответствующих таблицах значение 1/7, 1/11 и так далее — пустое. С помощью такого деления они становились регрессом обычного деления и использовали приблизительные значения как показатели.
Точно так же они не знали, как представить или иметь дело с иррациональными числами, такими как
. В связи с проблемами, которые приводят к такому количественному анализу, они заменяли точные методы действия с помощью других привлеченных процессов, дающих приблизительно верный результат. «Правило знаков», похоже, находится вне их осмысления. «Отрицательный корень» квадратного уравнения просто игнорируется.
Более того, вавилоняне обнаружили опытным путем фактическую систему вычисления некоторого числа цифр, которые мы должны выразить алгебраической формулой. Так, им явно был знаком результат, который мы выражаем как (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, и использовали этот результат, чтобы решать квадратные уравнения, «заполняя квадрат», во многом поступая точно так же, как и мы.
Подобные пропорции чисел, правила арифметической грамматики, как называл их Хогбен, казались писцам не открытием первичных «законов», но результатами и процессами, которые действительно должны были работать. Они никогда не выражали в полной мере «математические таблички» общими формулами. Все, что сохранилось, представляет собой «примеры», разработанные и фактически устроенные так, что они действовали с помощью доступных методик, так, например, значения для уравнения выбраны так, что ас + b2/4 является совершенной площадью.
Все же вавилоняне испытывали недостаток в том, что мы называем алгебраическим обозначением, используя буквы с неопределенными числовыми значениями вместо конкретных цифр. Решая «уравнения», они, следовательно, обращались к процедуре, схожей с той, что и «ложное положение», использовавшееся в средневековой арифметике.
Фрагментарные таблички доказывают, что школы экспериментировали с геометрическими фигурами, вписывая квадраты в круги и т. п. Трудно сказать, к каким заключениям подводят нас таблички. Однако к 1800 году до н. э. вавилоняне обнаружили, опять-таки предположительно с помощью фактических наблюдений и измерений, некоторые геометрические отношения в добавление к тем правилам для площадей и объемов, применение которых началось гораздо раньше.
