Книга Путеводитель для влюблённых в математику, страница 31. Автор книги Эдвард Шейнерман

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Путеводитель для влюблённых в математику»

Cтраница 31

Таким образом, мы соберем около 2000 параметров и затем подсчитаем, сколько чисел начинается с цифры 1, сколько – с цифры 2 и т. д. Вот что у нас получится:


Путеводитель для влюблённых в математику

Невероятно: чаще всего на первой позиции встречается цифра 1 (примерно в 30 % случаев) и реже всего – цифра 9 (меньше 5 % случаев)!

Мы призываем читателей повторить эксперимент самостоятельно: взять статистический справочник, выписать первые цифры длин рек, высот гор, курсов акций, среднего роста различных видов животных, количества слов в романах, производства риса в разных странах и т. д.

Соберите как можно больше параметров, покрывающих широкий диапазон значений, и вы увидите все ту же логику. Чаще всего первой цифрой оказывается единица, реже всего – девятка.

Такое неравномерное распределение первых значащих цифр известно как закон Бенфорда, названный в честь Фрэнка Бенфорда [109]. Он опубликовал статью об этом феномене в 1938 году, хотя необходимо отметить, что еще в 1881 году к такому же выводу пришел Саймон Ньюком [110].

Закон Бенфорда утверждает нечто большее, чем «единица на первой значащей позиции встречается чаще всего, а девятка – реже всего». Закон Бенфорда констатирует (при наличии большого количества данных) следующую частотность [111]:


Путеводитель для влюблённых в математику

Таблицы умножения

Есть и другая область, где обнаруживается неравномерное распределение первых значащих цифр, – это знакомая всем таблица умножения [112]:


Путеводитель для влюблённых в математику

Среди 81 числа в этой таблице 18 начинаются на 1, а именно:


Путеводитель для влюблённых в математику

При этом всего 3 числа начинаются на 9:


Путеводитель для влюблённых в математику

Вот процентное соотношение первых значащих цифр в обычной таблице умножения.


Путеводитель для влюблённых в математику

Мы видим, что цифры поменьше встречаются чаще, чем цифры побольше, но частотность здесь не совсем такая, какую предсказывает закон Бенфорда.

Таблица умножения дает нам все возможные результаты умножения одного однозначного числа на другое от 1 × 1 до 9 × 9.

Давайте расширим этот принцип и переберем все варианты умножения трех однозначных чисел. Проделаем следующие вычисления [113]:


Путеводитель для влюблённых в математику

В общей сложности это дает 9³ = 729 троек. Посмотрим, как часто встречаются разные цифры в первой позиции:


Путеводитель для влюблённых в математику

Нет резона останавливаться на перемножении трех чисел. Мы можем составить четырехмерные, пятимерные, шестимерные таблицы умножения и т. д. Давайте сразу посмотрим, что получится с десятимерной таблицей умножения [114]. Она содержит все возможные комбинации произведений десяти чисел от 1 до 9. Другими словами, мы проделываем следующие вычисления:


Путеводитель для влюблённых в математику

Занесем в таблицу, как много чисел начинается с 1, 2 и т. д.:


Путеводитель для влюблённых в математику

Мы увидим, что частотность первых цифр в этом случае уже хорошо согласуется с законом Бенфорда.

Поимка жулика

Перед тем как вникнуть в детали закона Бенфорда, давайте обратим внимание на одно его практическое применение.

Предположим, некий нечистый на руку человек подделывает налоговые декларации (меняет суммы, фабрикует баланс и т. д.). Короче говоря, он лжет и выдумывает числа, не имеющие отношения к реальности. Начальные цифры он выбирает случайным образом.

Судебный эксперт может быстро проверить, совпадает ли распределение первых цифр с законом Бенфорда. Если не совпадает, возникают подозрения, что числа подделаны. Но это еще не строгое доказательство вины.

Экспоненциальное представление

Сверхбольшие и сверхмалые числа удобно записывать в экспоненциальном виде. Например, число 12 300 000 в экспоненциальном представлении выглядит так: 1,23 × 10⁷. Мы записываем число от 1 до 10, умноженное на степень 10. Основное число называется мантисса [115]. Например, мантисса 853 100 000 равна 8,531:

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация