Заметьте, что изображение касательной к кривой — это геометрическое действие. (Касательная — линия, соприкасающаяся с кривой в одной точке, но не пересекающая ее.) Угол между касательной и кривой можно измерить физически. Но, как стало ясно для математиков XVII века в случае с математическими кривыми, тот же результат можно получить и алгебраическим путем, причем более точно, создав математическое выражение того же угла.
Кроме того, кривую можно представить в виде траектории движущейся точки. Научиться работать с движущейся точкой было важно, потому что понятие движения занимало центральное место в философии того времени. Не только Гоббс, но и другие философы считали его основой всех явлений — как умственных, так и физических.
Например, Гоббс выдвинул идею усилия, т.е. вида импульса как для мысли, так и для действия; это было «начало» любого действия. Понятие включало в себя не только мгновенную скорость, основу самого дифференциального исчисления, но и давление или движущую силу, стоящую за движением.
Усилие, как предполагал Гоббс, «есть движение, совершенное через длину точки за одно мгновение»
. Другими словами, усилие для движения — это то же самое, что точка для линии, единица для бесконечности, миг для времени. Конечно же, математика и философия были тесно связаны в данных вопросах, и многие ученые, в том числе Гоббс и Лейбниц, активно работали в обеих областях.
Еще одной крайне важной проблемой было измерение и вычисление сложных кривых, площадей и объемов. Например, определение объема винных бочек всегда было насущной задачей, которую никто так и не смог до того времени решить. В этом вопросе тоже была проведена предварительная работа, в том числе существовал так называемый метод истощения, при котором площадь поверхности, ограниченная кривой, находилась путем вписывания в нее многоугольников со все большим числом граней. Естественно, он основывался на том же методе квадратуры, которым пользовался Архимед в работе с числом я (см. главу 2). Точно так же можно представить, что конус состоит из ряда окружностей, каждая из которых немного больше (или меньше) по диаметру, чем предыдущая.
Для нематематика все это кажется совершенно непонятным. Вольтер в свойственной ему резкой манере позже описывал дифференциальное исчисление как «искусство дробления и точного измерения предмета, существование которого нельзя ощутить». С другой стороны, Валлис смог развить этот метод с помощью нескольких блестящих трудов по бесконечным последовательностям. Ньютон изучал работу Валлиса зимой 1664–1665 годов
Иными словами, другие математики уже занимались решением отдельных задач подобного рода с помощью геометрии и алгебры. Поэтому неудивительно, что Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга и практически одновременно разработали метод дифференциального исчисления. Но поразительно в этом открытии то, что они подошли к нему с противоположных сторон.
Лейбниц, интересы которого охватывали множество областей, хотел разработать унифицированную систему знаний. Он был философом-холистом, ведущим отчаянную борьбу с проявлениями специализации — борьбу, которая продолжается по сей день. С этой целью он работал над универсальным научным языком и заинтересовался тем, что можно назвать «исчислением рассуждений». Он стремился создать метод, который облегчил бы ему работу с переменными и, в частности, с движением. Этим объясняется его интерес к идее усилия у Гоббса. Лейбниц искал общий логический метод — другими словами, исчисление как аналитический метод. Возможно, его можно было бы использовать и для того, чтобы раскрыть секреты человеческого поведения.
Для Ньютона исчисление бесконечно малых величин было скорее способом решения физических задач, еще одним математическим методом, который мог бы взять на вооружение физик. Он использовал его при работе со многими задачами, речь о которых идет в самой знаменитой его книге — «Математические начала натуральной философии», известной также как просто «Начала» (1687 год). Затем, по-видимому, он переработал эти задачи так, чтобы их можно было представить в привычном, преимущественно геометрическом виде.
К середине 1665 года он сформулировал основную теорему дифференциального исчисления, к осени 1666 года довел метод «флюксий» (его собственный термин) до удобного в использовании, хотя и несколько громоздкого состояния. Он написал труд по этому методу и показал нескольким коллегам, убеждавшим его опубликовать эту работу. Увлекаемый, с одной стороны, понятным желанием добиться славы, он в то же время был одержим почти патологическим страхом перед критикой, поэтому отказался дать согласие на публикацию.
Вот так, в 23 года, еще будучи студентом, Ньютон превзошел ведущих математиков Европы, и почти никто не знал об этом. Затем он обратился к другим вопросам. В 1669 году, частично благодаря своей неопубликованной работе, он стал профессором математики Кембриджского университета, и эта должность позволяла ему заниматься исследованием интересующих вопросов.
Пробный выстрел
Не решившись сначала отдать свою работу на растерзание ученым львам, Ньютон, наконец, пошел на это в 1672 году, представив в Королевском обществе Лондона доклад под названием «Новая теория света и цветов». Эта работа, в которой описывались его первые великие открытия в области оптики, основывалась на исследованиях, которые ученый проводил в середине 1660-х годов. В заключительной части доклада он призывал других повторить его эксперименты, говоря, что сам «был бы очень рад получить сведения о результатах», а также дать дальнейшие указания, куда двигаться дальше, и информировать об ошибках, если окажется, что он их совершил. Позже ему пришлось пожалеть об этом предложении.
Хотя доклад был в целом встречен очень хорошо и принес ему известность, работа также подверглась критике. В результате оказалось, что Ньютон растрачивает драгоценное время, отвечая на подчас безумные нападки на свои утверждения, хотя подобное очень часто происходит с теми, кто выдвигает поистине новые идеи. Вскоре он начал жаловаться, что принес в жертву собственный покой. Но среди критиков были и известные люди, в том числе голландский физик Христиан Гюйгенс и британский ученый Роберт Гук. Их реакция, особенно высказывания умнейшего и очень придирчивого Гука, показались Ньютону крайне неприятными.
Эти первые споры повлияли на Ньютона любопытным образом. Хотя он продолжал заниматься оптикой, но уже не публиковал никаких работ в этой области, более того, он не спешил издавать свой важнейший труд по данному вопросу — «Оптика» — вплоть до самой смерти Гука лет через 30 после этого.
Но в Королевском обществе читались и другие ere доклады, в том числе по темам, не касающимся оптики. Из-за них возникали новые проблемы с Гуком, что в свою очередь, должно быть, подтолкнуло Ньютона к проведению его важнейших исследований. Одним из вопросов было математическое доказательство того, что массы притягиваются друг к другу, если они сконцентрированы в одной точке, а еще одной проблемой — показать, что планета, вращающаяся вокруг Солнца согласно закону всемирного тяготения
[7], будет двигаться не по круговой, а по эллиптической орбите. Потом, к своему удовольствию доказав собственное превосходство над Гуком, Ньютон отложил эти бумаги и на многие годы забыл о них.
