Эта игра также помогла появиться совершенно новому классу чисел. В 1970 году математик Джон Конвей из Кембриджского университета изучал игру Го, в которую играли два мастера, и в результате пришел к идее сюрреальных чисел. Вы можете рассматривать сюрреальные числа как наборы инструкций, чтобы найти определенные числа на числовой прямой с помощью серии движений вверх и вниз. Все действительные числа – которые состоят из целых чисел, дробей, положительных, отрицательных и иррациональных чисел – считаются сюрреальными, но некоторые сюрреальные числа не являются действительными. В сущности, сюрреальные числа – это новый набор чисел (как рациональные или целые числа), которые вы можете найти на числовой прямой с помощью серии ходов: вниз, вверх, влево, вправо. Одним особенно большим сюрреальным числом является омега, это число на числовой прямой, когда вы следуете вправо бесконечное количество времени. (Омега – это наименьшее сюрреальное число, которое больше, чем любое действительное число.) В любом случае, толчком для этого открытия стала игра Го, и по сей день она приносит математическое удовольствие миллионам людей по всему миру.
Отелло
Отелло – это игра, чем-то напоминающая Го, ее изобрели в 1880-х два англичанина, изначально она называлась Реверси, хотя игры имеют достаточные различия. В обеих играх игроки окружают камни противника, в Отелло окруженные камни, черные с одной стороны и белые с другой, переворачиваются. В Го окруженные камни остаются того же цвета. Кроме того, доска в Отелло имеет разлиновку 8 × 8, что куда меньше, чем 19×19 в Го.
3.5. Шахматная доска и пшеница
Математическое понятие: геометрическая прогрессия
Существует история, согласно которой визирь при дворе короля Ширхама в Индии Сисса Бен Дахир изобрел игру в шахматы. Довольный изобретением Дахира король Ширхам предложил ему выбрать в качестве дара то, что он захочет. Сисса Бен Дахир попросил, казалось бы, безобидный дар: одно зерно пшеницы за первый квадрат шахматной доски, два за второй, четыре за третий и так далее, каждый последующий квадрат получал в два раза больше зерна, чем предыдущий. Мы можем представить этот процесс в виде суммирования: 20 + 21 + 22 + 23 +… 263. (Мы остановились на 63, так как, хоть и на доске 64 квадрата, степень первой 2 равна 0, а не 1.) Такое суммирование, где число остается неизменным, а степень растет с каждым шагом прогрессии, называется геометрической прогрессией. И хоть и кажется, что сумма будет не такой уж большой, она на самом деле будет огромной. На деле это число будет равно числу шагов, которые необходимы, чтобы решить задачу Ханойской башни, то есть 18 446 744 073 709 551 615 (см. главу 3.4). Если предположить, что в тонне пшеницы примерно 100 миллионов зерен, Сисса Бен Дахир попросил примерно 200 миллиардов тонн пшеницы. Действительно ошеломительное количество.
Шахматы с острова Льюис
Самая впечатляющая коллекция шахмат в мире известна как шахматы с острова Льюис. Она состоит из 93 фигур XII века, которые были обнаружены в 1831 году на шотландском острове Льюис (Внешние Гебриды). Они изготовлены из моржовых костей и зубов китов, и кажется, что они имеют скандинавские корни: ладьи выполнены в форме солдат, кусающих свои щиты, как это делали берсерки.
3.6. Ханойская башня
Математические понятия: рекурсия, геометрическая прогрессия
Иногда простые правила могут привести к удивительно большим числам. Представьте Ханойскую башню, игрушку, состоящую из трех стержней, установленных вертикально на устойчивой базе, и стопки деревянных колец – у каждого отверстие в центре, – нанизанной на один стержень. Каждый диск разного размера, и они сложены так, что самый маленький диск лежит сверху и, по мере возрастания, самый большой лежит снизу. Целью игры является переместить стопку дисков на другой стержень так, чтобы диски лежали в том же порядке, но вы можете передвигать только один диск за раз, и нельзя класть больший диск на меньший.
Шаги, необходимые для достижения цели, являются примером рекурсии. Передвижение первого диска требует одного хода, но каждый последующий диск требует в два раза больше ходов, чем предыдущий. Если дисков много, то количество ходов для решения головоломки непостижимо велико. Например, существует легенда о Ханойской башне. Согласно этой легенде, в Индии есть Ханойская башня с тремя алмазными иглами, и на одной из них находятся 64 золотых диска, каждый меньше чем тот, что под ним. Монахи Брахмы следят за дисками, и постоянно один из монахов переставляет диски на другую иглу, согласно тем простым правилам, которые были упомянуты ранее.
Как долго они будут выполнять эту задачу? Если каждый ход занимает 1 секунду, и монахи не делают перерывов, то перестановка стопки дисков займет 18 446 744 073 709 551 615 секунд, что равно 58 триллионам лет, это намного больше, чем текущий возраст Вселенной (которой примерно всего 13 триллионов лет). Огромные числа действительно могут содержаться в простых вещах.
Ханойская башня в поп-культуре
Ханойская башня очень популярна в поп-культуре. В 1966 году в серии «Доктора Кто» Небесный игрушечник заставил Доктора сыграть в эту игру с 10 кольцами за ограниченное количество ходов (1023), он назвал ее Трилогической игрой. В 2011 году в фильме «Восстание планеты обезьян» эта головоломка, которую назвали Башней Лукаса, была использована для проверки интеллекта у обезьян.
3.7. Принцип голубей и ящиков
Математические понятия: принцип голубей и ящиков, комбинаторика
Никогда не сбрасывайте со счетов простую идею, так как такие идеи иногда имеют большие последствия. Одной из таких идей является принцип голубей и ящиков, который впервые сформулировал немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле в 1834 году. Согласно этому принципу, если у вас есть три ящика и четыре голубя, и каждый голубь должен занять ящик, следовательно, в одном ящике должно быть больше одного голубя. (Принцип не говорит, сколько голубей находится в каждом ящике или что в каждом ящике находится голубь. Все четыре голубя могут находиться в одном ящике, а два остальных останутся пустыми.) Если мы захотим описать этот принцип в более общей форме, не ссылаясь конкретно на голубей (принцип также работает и с коровами, индейками, футбольными мячами или любыми другими объектами), то можно сказать, что если у нас есть Н контейнеров и М объектов и М превышает количество Н, тогда в одном из контейнеров будет как минимум один объект.
