Обсуждая крупномасштабную структуру Вселенной, астрономы любят говорить, что пространство искривлено, что у Вселенной нет центра и что она конечна, но неограниченна. О чем они толкуют? Представьте, что мы живем в необычной стране, где все абсолютно плоское. Вслед за Эдвином Эбботом
[199], исследователем Шекспира, жившим в викторианской Англии, назовем ее Флатландией (от англ. flat — плоский. — Пер.). Некоторые из нас — квадраты, другие — треугольники, а кое-кто имеет более сложные очертания. Мы снуем мимо наших плоских домов, выходим, занимаемся своими плоскими делами и плоско развлекаемся. Все жители Флатландии имеют ширину и длину, но не имеют высоты. Мы знаем, что такое направо и налево, вперед и назад, но никто, кроме наших плоских математиков, не имеет ни малейшего представления о том, что есть верх и низ. Они говорят: «Послушайте, это в самом деле очень просто.
Представьте себе движение влево-вправо. Теперь движение вперед-назад. Пока всё в порядке? Теперь вообразите другое измерение, под прямым углом к нашим двум». А мы отвечаем: «Что вы несете? Как это „под прямым углом к нашим двум"?! Существуют только два измерения. Покажите нам третье измерение. Где оно?» И математики в унынии удаляются. Никто не слушает математиков.
Любое квадратное существо во Флатландии видит другое квадратное существо как короткий отрезок — ближайшую к наблюдателю сторону квадрата. Чтобы узреть другую сторону квадрата, надо обойти вокруг него. Однако внутренность квадрата всегда остается загадочной, если только трагический несчастный случай или вскрытие трупа не разрушает периметр, выставляя напоказ внутренние части.
Однажды трехмерное создание, формой напоминающее, допустим, яблоко, зависло над Флатландией. Наблюдая за особенно привлекательным квадратом, входящим в свой плоский дом, яблоко решило поприветствовать его, чтобы наладить дружеские контакты между измерениями. «Как поживаете? — спросил гость. — Я пришелец из третьего измерения». Несчастный квадрат оглядел свой запертый дом и никого не увидел. Но хуже всего, что ему показалось, будто приветствие, пришедшее сверху, исходит изнутри его собственного тела, как внутренний голос. Небольшие психические отклонения встречались в его семье, напомнил он себе, приободряясь.
Раздраженное тем, что его приняли за психическую аберрацию, яблоко опустилось во Флатландию. Но лишь часть трехмерного создания может пребывать во Флатландии. Разглядеть удается только его сечение, те точки, которые входят в контакт с плоской поверхностью Флатландии. Пересекая Флатландию, яблоко сначала обозначилось как точка, а потом как увеличивающегося размера круги. Квадрат в своем двумерном мире увидел появившуюся в запертой комнате точку, которая, медленно раздаваясь, выросла в круг. Создание странной меняющейся формы возникло из ниоткуда.
Досадуя на бестолковость плоского существа, яблоко толкнуло квадрат и выбросило его, дрожащего и вращающегося, вверх, в загадочное третье измерение. В первый момент квадрат не мог осознать происходящего, которое напрочь выходило за рамки его опыта. Но постепенно он понял, что обозревает Флатландию в очень странном ракурсе — «сверху». Он видел, что делается в закрытых комнатах. Он мог заглянуть внутрь своих плоских приятелей. Его мир предстал перед ним в странной и невероятной перспективе. Путешествие в другое измерение дает неожиданные преимущества, своего рода рентгеновское зрение. В конце концов, подобно падающему листу, наш квадрат медленно опустился на поверхность. С точки зрения соседей-флатландцев он непостижимым образом исчез из запертой комнаты, а затем, ко всеобщему недоумению, материализовался из ниоткуда. «Ради бога, — приступили к нему с вопросами, — что с тобой случилось?» — «Думаю, — отвечал он неожиданно для себя, — я был „наверху"». Его похлопали по бокам, чтобы успокоить. Многие в его семье страдали галлюцинациями.
В размышлениях о том, как соотносятся разные измерения, нам не следует ограничиваться двумерным случаем. Вслед за Эбботом мы можем вообразить одномерный мир, где все существа представляют собой отрезки, или даже очаровательный нульмерный мир, населенный точками. Но, пожалуй, вопрос о более высоких размерностях все же интереснее. Может ли существовать четвертое физическое измерение?
[200]
Мы можем представить себе построение куба следующим образом. Возьмем отрезок определенной длины и переместим его перпендикулярно самому себе на расстояние, равное его длине. Получится квадрат. Переместив квадрат на такое же расстояние под прямым углом к самому себе, мы получим куб. Известно, что куб отбрасывает тень, которую мы обычно изображаем, рисуя два квадрата с соединенными вершинами. Изучая двумерную тень куба, мы замечаем, что не все отрезки выглядят равными и не все углы — прямыми. Трехмерный объект нельзя без искажений представить в двух измерениях. Такова цена потери измерения при получении геометрической проекции. Теперь возьмем наш трехмерный куб и переместим его под прямым углом к самому себе в четвертом измерении: не слева направо, не сверху вниз, не вперед или назад, но одновременно под прямым углом ко всем этим трем направлениям. Я не могу показать это направление, но я могу представить себе, что оно существует. В результате мы построим четырехмерный гиперкуб, или тессеракт. Я не в силах продемонстрировать вам тессеракт, поскольку мы ограничены тремя измерениями. Но могу показать его трехмерную тень. Она напоминает два вложенных куба, вершины которых попарно соединены отрезками. Однако в настоящем тессеракте, в четырех измерениях, все отрезки будут иметь одинаковую длину и располагаться под прямыми углами друг к другу.
Нарисуйте в своем воображении вселенную, во всем похожую на Флатландию с тем лишь исключением, что ее двумерный мир искривлен в третьем физическом измерении, но обитатели об этом ничего не знают. Когда флатландцы предпринимают небольшие путешествия, их мир выглядит совершенно плоским. Но если кто-то из них достаточно долго следует вдоль линии, которая кажется ему идеально прямой, то сталкивается с удивительной загадкой: он не встретил никакого препятствия и никуда не сворачивал, но непонятно как возвратился туда, откуда вышел. Его двумерная вселенная должна быть каким-то образом свернута или изогнута в загадочном третьем измерении. Он не может представить это третье измерение, но способен догадаться о его существовании. Увеличьте все размерности в этой истории на единицу, и вы получите ситуацию, применимую к нам.
Где находится центр Вселенной? Есть ли у нее край? Что находится за ее границами? В двумерной вселенной, искривленной в третьем измерении, нет центра — по крайней мере, на поверхности сферы. Центр такой вселенной не находится в самой этой вселенной. Он лежит в недоступном третьем измерении, внутри сферы. Хотя площадь поверхности сферы конечна, у нее нет края — она конечна, но не ограничена. И поэтому вопрос о том, что лежит за ее границами, лишен смысла. Плоские создания не могут самостоятельно покинуть свои два измерения.
