Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора
Риману понадобилось несколько месяцев, чтобы оправиться от последствий нервного срыва. Его доклад, наконец прочитанный в 1854 г., приняли с воодушевлением. В ретроспективе это был, бесспорно, один из наиболее выдающихся публичных докладов в истории математики. По Европе быстро распространилось известие, что Риман решительно сбросил оковы евклидовой геометрии, которой математики подчинялись на протяжении двух тысячелетий. О докладе вскоре узнали во всех центрах образования Европы, вклад Римана в математику приветствовали повсюду в научных кругах. Доклад Римана перевели на несколько языков, он произвёл фурор в математике. К евклидовой геометрии раз и навсегда перестали относиться так, как прежде.
Суть выдающегося труда Римана, как и суть многих величайших работ в области физики и математики, уловить довольно просто. Риман начал со знаменитой теоремы Пифагора, одного из важнейших достижений древнегреческих математиков. Эта теорема устанавливает соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника. Согласно ей, сумма квадратов коротких сторон, катетов, равна квадрату длинной стороны, гипотенузы; если a и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы, тогда а² + b² = с². (Естественно, теорема Пифагора лежит в основе всей архитектуры; все сооружения на планете построены с её учётом.)
Эту теорему легко сформулировать для трёхмерного пространства. Она гласит, что сумма квадратов трёх смежных сторон куба равна квадрату его диагонали; или если а, b и с — стороны куба, а d — его диагональ, тогда a² + b² + c² = d² (рис. 2.1).
Теперь так же просто можно сформулировать ту же теорему для N-мерного пространства. Представим себе N-мерный куб. Если a, b, c… — длины сторон «гиперкуба», а z — длина его диагонали, тогда a² + b² + c² + d² +… = z². Примечательный момент: хотя наш мозг не в состоянии представить N-мерный куб, формулу для его сторон и диагонали записать несложно. (Это типичная особенность работы с гиперпространством. С математической точки зрения манипулировать N-мерным пространством не труднее, чем трёхмерным пространством. Поразительно, как на простом листе бумаги можно математически описать свойства многомерных объектов, которые не в силах вообразить наш мозг.)
Затем Риман записал эти уравнения для пространств с произвольным количеством измерений. Эти пространства могут быть либо плоскими, либо искривлёнными. К плоским применяются обычные аксиомы Евклида: кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая, параллельные линии никогда не пересекаются, сумма внутренних углов треугольника составляет 180º. Вместе с тем Риман обнаружил, что поверхности могут иметь «положительную кривизну», как поверхность сферы, где параллельные всегда пересекаются и сумма углов треугольника может быть больше 180º. Бывают и поверхности с «отрицательной кривизной»: например, седлообразные или воронкообразные. На этих поверхностях сумма углов треугольника меньше 180º. Если взять линию и точку вне этой линии, то через такую точку можно провести бесконечное множество линий, параллельных данной (рис. 2.2).
Целью Римана было ввести в математику новый элемент, позволяющий описывать все поверхности независимо от их сложности. Как и следовало ожидать, эта цель побудила его обратиться к фарадеевой концепции поля.
Как мы помним, поле Фарадея представляло собой подобие крестьянского, занимающего двумерный участок пространства. Фарадеево поле занимает часть трёхмерного пространства; любой точке этого пространства мы присваиваем ряд параметров, описывающих магнитное или электрическое взаимодействие в этой точке. Идея Римана заключалась в том, чтобы присвоить каждой точке пространства ряд параметров, которые описывали бы степень его деформации или кривизны.
К примеру, для обычной двумерной поверхности Риман вводил набор из трёх параметров для каждой точки, полностью описывающих искривление этой поверхности. Риман обнаружил, что в четырёх пространственных измерениях для описания свойств каждой точки требуется набор из десяти параметров. Каким бы «скомканным» или искривлённым ни было пространство, этих десяти параметров для каждой точки оказывалось достаточно, чтобы зашифровать всю информацию о данном пространстве. Обозначим эти десять параметров как g11, g12, g13, и т. д. (при анализе четырёхмерного пространства нижний индекс меняется от единицы до четырёх). В этом случае риманов набор из десяти параметров можно симметрично расположить, как показано на рис. 2.3
{12}. (Несмотря на то что компонентов всего 16, g12 = g21, g13 = g31 и т. д., т. е. в действительности независимых компонентов только десять.) В настоящее время этот набор параметров называется римановым метрическим тензором. Грубо говоря, чем больше значение метрического тензора, тем сильнее скомкан лист. Как бы ни был смят лист бумаги, метрический тензор даёт нам простое средство измерения его кривизны в любой точке. Если же мы полностью расправим скомканный лист, сделаем его плоским, то снова вернёмся к теореме Пифагора.
