§ 2. Граничные условия, требуемые общей теорией относительности
В дальнейшем я предлагаю читателю последовать по пройденному мной самим извилистому и неровному пути, поскольку, как мне кажется, только так будет интересен конечный результат. Я пришел к убеждению, что уравнения гравитационного поля, которых я до сих пор придерживался, нуждаются еще в некоторой модификации, чтобы можно было на базе общей теории относительности избежать тех принципиальных трудностей, которые в предыдущем параграфе были указаны для теории Ньютона. Эта модификация полностью соответствует переходу от уравнения Пуассона (1) к уравнению (2) предыдущего параграфа. Тогда, наконец, получается, что граничные условия на пространственной бесконечности вообще отпадают, поскольку мировой континуум должен в отношении своих пространственных размеров рассматриваться как замкнутый континуум, имеющий конечный пространственный (трехмерный) объем.
Высказанное мной недавно мнение относительно граничных условий на пространственной бесконечности основано на следующих соображениях. В последовательной теории относительности нельзя определять инерцию по отношению к «пространству», но можно определять инерцию масс относительно друг друга. Следовательно, если я удаляю какую-нибудь массу на достаточно большое расстояние от всех других масс Вселенной, то инерция этой массы должна стремиться к нулю. Попытаемся сформулировать это условие математически.
Согласно общей теории относительности, импульс (с обратным знаком) определяется первыми тремя компонентами, а энергия – последней компонентой умноженного на √-g ковариантного тензора
(4)
причем, как всегда,
(5)
В особенно наглядном случае, когда координатную систему можно выбрать так, чтобы гравитационное поле в каждой точке было пространственно изотропно, последняя величина принимает более простой вид
Если одновременно
то в случае малых скоростей из выражения (4) для компонент импульса в первом приближении имеем
и для энергии (в случае покоя)
Из выражений для импульса следует, что играет роль инертной массы. Так как m – константа, связанная с точечной массой и независящая от положения этой массы, то при соблюдении условия, установленного для определителя, это выражение на пространственной бесконечности обращается в нуль только тогда, когда А стремится к нулю, а В стремится к бесконечности.
Рассмотренное поведение метрических коэффициентов gμν представляется нам как бы следствием относительности всякой инерции. Отсюда следует также и тот факт, что потенциальная энергия m√B точки на бесконечности становится бесконечно большой. Точечная масса никогда не может покинуть систему. Более детальное исследование показывает, что то же самое справедливо и для лучей света. Вселенная при таком поведении потенциала гравитационного поля на бесконечности не подвергалась бы опасности стать пустой, на что указывалось при обсуждении ньютоновской теории.
Упрощенные допущения о гравитационном потенциале, которые лежат в основе этих рассуждений, введены только для большей наглядности. Для описания поведения gμν на бесконечности можно найти общую формулировку, которая выразит суть без всяких ограничивающих допущений.
Пользуясь дружеской помощью математика Громмера, я исследовал центрально-симметричное статическое гравитационное поле, которое выражается на бесконечности указанным образом. Из заданного потенциала гравитационного поля gμν на основе уравнений гравитационного поля был вычислен тензор Tμν энергии материи. Однако при этом оказалось, что для звездной системы подобного рода граничные условия никак не могут быть приняты. Недавно это вполне справедливо было отмечено также астрономом де Ситтером. Действительно, контравариантный тензор Tμ энергии весомой материи имеет вид
где ρ означает естественно измеренную плотность материи.
При надлежащем выборе координатной системы скорости звезд очень малы по сравнению со скоростью света. Поэтому ds можно заменить на
. Таким образом, все компоненты тензора Tμν очень малы по сравнению с последней его компонентой, T44. Однако это условие никак нельзя совместить с выбранными граничными условиями. После всего изложенного такой результат не вызывает удивления. Факт незначительности звездных скоростей позволяет заключить, что всюду, где имеются неподвижные звезды, потенциал гравитационного поля (в нашем случае √В) не может быть существенно больше, чем у нас. Последнее следует из статистических соображений так же, как и в теории Ньютона. Во всяком случае, наши вычисления привели меня к убеждению, что подобные условия вырождения для gμν в пространственной бесконечности не могут быть постулированы.
Неудача этой попытки указывает на две возможности: а) требовать, как в случае планетной проблемы, чтобы на пространственной бесконечности gμν при надлежащем выборе системы координат стремились к значениям
или б) не устанавливать для пространственной бесконечности никаких фиксированных граничных условий. В каждом отдельном случае следует особо задавать gμν на пространственной границе рассматриваемой области так же, как мы привыкли это делать до сих пор, задавая начальные условия.
Возможность «б» не соответствует какому-либо решению проблемы. Она означает отказ от ее решения. Правомерность такой точки зрения нельзя отрицать – в настоящее время ее придерживается де Ситтер
[18]. Но я должен признаться, что мне трудно было бы пойти на столь большие уступки в этом принципиальном вопросе. С этим я соглашусь только в том случае, если все усилия найти удовлетворительные граничные условия окажутся тщетными.
