На первый взгляд традиционное символьное доказательство кажется радикально отличным от «практического» доказательства в виртуальной реальности. Но теперь мы видим, что они соотносятся друг с другом так же, как вычисления с физическими экспериментами. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вычисление, и любое вычисление есть физический эксперимент. В обоих видах доказательства физическими сущностями (независимо от того, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих случаях физические сущности представляют интересующие нас абстрактные сущности. И в обоих случаях надёжность доказательства зависит от истинности теории о том, что физические и абстрактные сущности действительно имеют соответствующие общие свойства.
Из приведённого рассуждения также видно, что доказательство — это физический процесс. В действительности доказательство — это разновидность вычисления. «Доказать» утверждение — значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным правильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово «доказательство» для обозначения объекта, например, текста, написанного чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соответствующего вида.
Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс математического доказательства, ни опыт математической интуиции не дают нам полной уверенности, и ничто её не даёт. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, может быть глубоким и широким, может быть утончённым и поразительным по своей объяснительной силе, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть абсолютно достоверным. Никто не может гарантировать, что в доказательстве, которое ранее считалось корректным, однажды не обнаружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ранее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, об абстрактном мире или о том, как взаимосвязаны некоторые физические и абстрактные сущности.
Именно такое ошибочное, самоочевидное допущение стало причиной, по которой саму геометрию ошибочно классифицировали как раздел математики в течение двух тысячелетий, приблизительно с 300 года до н. э., когда Евклид написал свои «Начала», и до XIX века (а в большинстве словарей и школьных учебников — и по сей день). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любого математика. Со временем, однако, некоторые математики начали сомневаться в самоочевидности одной из аксиом Евклида (так называемой «аксиомы о параллельных»). Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс был первым, кто подверг её практической проверке. Аксиома о параллельных необходима при доказательстве того, что сумма углов треугольника составляет 180°. Легенда гласит, что в совершенной секретности (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентов с фонарями и теодолитами на вершинах трёх холмов — вершин самого большого треугольника, который он мог легко измерить. Он не обнаружил никаких отклонений от предсказаний Евклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструменты были недостаточно чувствительны. (С геометрической точки зрения окрестности Земли — довольно скучное место.) Общая теория относительности Эйнштейна включала новую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказана экспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительности не обязательно составляет 180°: истинная сумма зависит от гравитационного поля в пределах этого треугольника.
Очень похожая неверная классификация была вызвана фундаментальной ошибкой, которую математики допускали с античных времён относительно самой природы своего предмета, а именно, что математическое знание является более надёжным, чем какая-либо другая форма знания. Сделав эту ошибку, уже невозможно не классифицировать теорию доказательств как часть математики, поскольку математическая теорема не может быть надёжной, если ненадёжна сама теория, подтверждающая метод её доказательства. Но как мы только что видели, теория доказательств не является разделом математики — она является естественнонаучной дисциплиной. Доказательства не абстрактны. Не существует абстрактного доказательства чего-либо, так же как не существует абстрактного расчёта или вычисления чего-либо. Конечно, можно определить класс абстрактных сущностей и назвать их «доказательствами», но эти «доказательства» не могут подтвердить математические утверждения, потому что их невозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в истинности утверждения не более чем абстрактный генератор виртуальной реальности, которого физически не существует, может убедить людей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компьютер может разложить на множители число. Математическая «теория доказательств» не имела бы никакого отношения к тому, какие математические истины можно или нельзя доказать в действительности, точно так же как теория абстрактных «вычислений» не имеет никакого отношения к тому, что математики — или кто-то ещё — могут или не могут вычислить в реальности, если не существует отдельной эмпирической причины считать, что абстрактные «вычисления» в этой теории похожи на реальные вычисления. Вычисления, включая и те особые вычисления, которые признаются доказательствами, — суть физические процессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы эти процессы правильно имитировали абстрактные сущности, которые они должны имитировать.
Теоремы Гёделя были превозносимы как «первые новые теоремы чистой логики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Гёделя говорят о том, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство — это физический процесс. Ничто в теории доказательства не является делом чистой логики. Новый способ, с помощью которого Гёдель смог доказать общие утверждения о доказательствах, зависит от определённых допущений о том, какие физические процессы могут или не могут представлять абстрактный факт таким образом, чтобы наблюдатель имел возможность обнаружить его и убедиться в нём. Гёдель вычленил такие допущения, превратив их в явное и очевидное обоснование своих выводов. Его результаты самоочевидным образом подтверждались не потому, что были «чисто логическими», а потому, что математики находили эти допущения самоочевидными.
Одно из сделанных Гёделем допущений было традиционным: доказательство может иметь только конечное число шагов. Интуитивное обоснование этого допущения состоит в том, что мы конечные существа и никогда не смогли бы мысленно охватить в буквальном смысле бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокойства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел и Вольфганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырёх красок» (о том, что, используя всего четыре разных цвета, можно раскрасить любую карту, нарисованную на плоскости, так, чтобы никакие две соседние области не были одного цвета). Их программа потратила сотни часов машинного времени, и это означало, что этапы доказательства, будь оно записано на бумаге, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. «Следует ли верить на слово компьютеру, утверждающему, что гипотеза четырёх цветов доказана?» — задавались вопросом скептики, хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов собственного мозга в процессе принятия относительно «простого» доказательства.
