Таким образом, и в чистой математике объяснение играет ту же самую первостепенную роль, какую оно играет в естественных науках. Объяснение и понимание мира — физического мира и мира математических абстракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательства и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.
Роджер Пенроуз извлёк из результатов Гёделя ещё более глубокий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные достоверные факты математики. Но в отличие от Платона, Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому миру. Таким образом, проблема для него встаёт даже острее, чем для Платона: как может нечёткий и ненадёжный мир давать математическую уверенность такой нечёткой и ненадёжной части себя, какой является математик? В особенности Пенроуза удивляет, каким образом нам удаётся почувствовать безошибочность новых корректных форм доказательства, которых, как уверяет Гёдель, бесконечно много.
Пенроуз всё ещё работает над подробным ответом, но заявляет, что само существование неограниченной математической интуиции такого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказательство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга является истинным, то можно рассматривать мозг (как и любой другой объект) в качестве компьютера, выполняющего определённую программу. Взаимодействие мозга с окружающей средой складывается из входных и выходных данных. Теперь рассмотрим математика в процессе решения вопроса о том, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Принятие такого решения эквивалентно исполнению в мозге математика компьютерной программы проверки доказательства. Такая программа воплощает некий набор правил вывода Гильберта, который, в соответствии с теоремой Гёделя, вероятно, не может быть законченным. Более того, как я уже сказал, Гёдель предложил способ создания и доказательства истинного утверждения, которое эти правила не способны признать доказанным. Следовательно, математик, разум которого, по сути, является компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это утверждение доказанным. Затем Пенроуз предлагает показать этому самому математику данное утверждение и метод доказательства его истинности по Гёделю. Математик понимает доказательство. Оно всё-таки самоочевидно корректно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть его корректность. Но это бы противоречило теореме Гёделя. Следовательно, где-то в рассуждении должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допущением является принцип Тьюринга.
Большинство специалистов по информатике несогласны с Пенроузом, что слабое звено в этом рассуждении — это принцип Тьюринга. Они бы сказали, что математик из этого рассуждения на самом деле не сможет признать гёделевское утверждение доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет понять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее утверждение:
Дэвид Дойч не может непротиворечиво признать, что данное утверждение является истинным.
Я стараюсь изо всех сил, но не могу непротиворечиво заключить, что оно истинно. Поскольку, если бы я сделал это, я бы пришёл к выводу о том, что я не могу составить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы ведь видите, что оно истинно, не так ли? Это демонстрирует, по крайней мере, возможность того, что утверждение будет недоступно пониманию для одного человека, но самоочевидно истинным для любого другого.
Так или иначе, Пенроуз надеется на новую фундаментальную теорию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые проверяемые предсказания, хотя, безусловно, согласовывалась бы и с квантовой теорией, и с теорией относительности во всех существующих наблюдениях. (Для этих двух теорий неизвестно экспериментальных контрпримеров.) Однако мир Пенроуза по своей сути сильно отличается от того, что описывает существующая физика. Фундаментальной структурой реальности в нём является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (вроде чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим миром, является для него вполне реальным (ещё одно отличие от Платона), но каким-то образом это является частью, или эмерджентной формой, самой математики. Более того, в его мире не существует универсальности; в частности, не существует машины, способной воссоздать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (в особенности, конечно, его математическое основание) всё ещё остаётся постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальностью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические сущности напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые ещё предстоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, не занимается математикой, ссылаясь единственно на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических форм Платона и там может постигать математические истины (за исключением грубых ошибок) с абсолютной уверенностью.
Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьютером и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Это может быть так, но я не знаю ни данных, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я ставлю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но это вопрос, независимый от идей Пенроуза. Он не утверждает, что мозг — это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсального квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вычислений, которые делает возможными новая, постквантовая физика. Он выступает в пользу новой физики, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что по его новой теории вообще невозможно будет истолковать некоторые действия мозга как вычисления.
Должен признаться, для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно представить себе до того, как они произойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует её полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов вытеснит квантовую теорию, или общую теорию относительности, или и ту и другую, будь то через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснения, то каждый разумный человек захочет её принять. И тогда нам предстоит увлекательный путь постижения нового мировоззрения, к принятию которого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Вероятно, такой взгляд на мир оказался бы весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, если бы даже так всё и случилось, я всё равно не могу понять, каким образом удовлетворялась бы первоначальная мотивация этой теории — желание объяснить нашу способность понимать новые математические доказательства. Всё равно останется тот факт, что на протяжении всей истории вплоть до наших дней великие математики обладали различными конфликтующими интуитивными представлениями относительно корректности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истинно то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг, порождая интуитивные математические представления, математики не всегда способны отличить эти интуитивные представления от других, ошибочных интуиций и идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно корректное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку в момент, когда хочется крикнуть «Эврика!» — и тем не менее ошибиться. И даже если теория предсказывает, что существует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени неправдоподобно), мы бы определённо нашли его полезным, но это всё равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работает. Ничто не способно доказать, что однажды ещё более совершенная физическая теория не вытеснит пенроузовскую и не покажет, что предполагаемый индикатор всё-таки не был надёжным и что существует лучший индикатор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это всё равно не поможет нам объяснить предполагаемую уверенность в знании, которое мы приобретаем, занимаясь математикой.
