Точно так же как солипсизм начинается со стремления упростить пугающе разнообразный и неопределённый мир, но при серьёзном к нему отношении оказывается реализмом, дополненным некоторыми ненужными усложнениями, так и интуиционизм в итоге становится одной из самых контринтуитивных доктрин, когда-либо воспринимавшихся всерьёз.
Давид Гильберт предложил план гораздо более соответствующий здравому смыслу — хотя, в конечном счёте, и обречённый — «раз и навсегда убедиться в надёжности математических методов». План Гильберта основывался на идее непротиворечивости. Он надеялся составить однажды и навсегда полный набор современных правил вывода математических доказательств с определёнными свойствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они должны были быть применимы непосредственно, так, чтобы определение того, удовлетворяет ли им какое-то предполагаемое доказательство, не вызывало бы споров. Желательно, чтобы эти правила были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворён, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при условии, что он мог бы быть уверен в их непротиворечивости. То есть, если правила определили данное доказательство как корректное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как корректное любое доказательство с противоположным выводом. Но как он мог в этом убедиться? На этот раз непротиворечивость следовало доказать с помощью метода доказательства, который сам подчинялся тем же правилам вывода. Тем самым Гильберт надеялся восстановить полноту и надёжность, присущую аристотелевскому подходу. Он также надеялся, что в соответствии с этими правилами будет в принципе доказуемо любое истинное математическое утверждение и не будет доказуемо никакое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала нового века Гильберт опубликовал список проблем, которые, как он надеялся, математики смогут решить в XX веке. Десятая проблема заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их непротиворечивости на их же основе.
Гильберту предстояло пережить полное разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гёдель произвёл революцию в теории доказательств радикальным отрицательным результатом, от которого до сих пор не оправились математический и физический мир: он доказал, что десятая проблема Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гёдель доказал, что любой набор правил вывода, пригодный для корректного обоснования даже доказательств обычной арифметики, никогда не позволит обосновать доказательство своей собственной непротиворечивости. А значит, нечего и надеяться найти доказуемо непротиворечивый набор правил, о котором мечтал Гильберт. Во-вторых, Гёдель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является непротиворечивым (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать корректные методы доказательства, корректность которых нельзя установить, опираясь на данные правила. Это называется теоремой Гёделя о неполноте. Для доказательства своих теорем Гёдель пользовался замечательным расширением «диагонального аргумента» Кантора, о котором я упоминал в главе 6. Он начал с рассмотрения произвольного непротиворечивого набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание является истинным.
Если бы программа Гильберта сработала, это стало бы плохой новостью для той концепции реальности, которую я выдвигаю в этой книге, поскольку устранило бы необходимость понимания при суждении о математических идеях. Кто угодно — или любой неразумный компьютер, — выучив правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы судить о математических утверждениях, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом озарении или понимании и даже не имея самого отдалённого представления о смысле этих утверждений. Стало бы принципиально возможно совершать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не прошла бы тест на то, является ли она доказательством или опровержением какого-либо знаменитого недоказанного предположения. В принципе, так можно было бы уладить любой спор в математике, даже не понимая его смысла — даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чём заключается метод доказательства, или почему на него можно положиться.
Может показаться, что достижение единого стандарта доказательств в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению — то есть к «углублению» нашего знания, о котором я говорил в главе 1. Однако в действительности всё наоборот. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы в рамках математики заветную мечту редукционистов — предсказывать всё (в принципе), но ничего не объяснять. Более того, если бы математика стала редукционистской, то все нежелательные черты, которые, как я показал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математические идеи образовывали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гильберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, была бы очень сложна, оказались бы объективно менее фундаментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике пришлось бы заниматься всё менее фундаментальными задачами. Математика вполне могла исчерпать себя, будь верна эта зловещая гипотеза. В противном случае она неизбежно распадается на всё более загадочные специализации по мере увеличения сложности «эмерджентных» вопросов, которые вынуждены решать математики, и по мере того, как связи между этими вопросами и основаниями предмета становятся всё более отдалёнными.
Благодаря Гёделю мы знаем, что никогда не будет неизменного метода определения истинности математического утверждения, как не существует и неизменного способа определения истинности научной теории. Не будет никогда и неизменного способа создания нового математического знания. Следовательно, прогресс в математике всегда будет зависеть от творческого подхода. Изобретение новых типов доказательств всегда будет возможным и необходимым делом для математиков. Они будут проверять их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от непрерывно растущего понимания используемых при этом абстрактных сущностей. Примером служат теоремы самого Гёделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном аргументе», однако Гёдель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Гёделя, не обладали бы, вероятно, такой предсказательной силой, чтобы определить его как корректный. Однако его корректность самоочевидна. Откуда исходит эта самоочевидность? Она возникает из понимания Гёделем природы доказательства. Доказательства Гёделя столь же убедительны, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймёт сопутствующее им объяснение.
