Специализированный квантовый компьютер — квантовый компьютер, например, квантовое криптографическое устройство или квантовое устройство разложения на множители, который не является универсальным квантовым компьютером.
Декогеренция — если различные ветви квантового вычисления в различных вселенных по-разному воздействуют на среду, интерференция уменьшается, а вычисление может не получиться. Декогеренция — это главное препятствие для практической реализации более мощных квантовых компьютеров.
Резюме
Законы физики допускают существование компьютеров, способных воспроизвести любую физически возможную среду, не используя непрактично больших ресурсов. Таким образом, универсальные вычисления не просто возможны, как этого требует принцип Тьюринга, они также относятся к классу легкорешаемых. Квантовые явления могут включать огромное множество параллельных вселенных, а потому могут не поддаваться эффективному моделированию в пределах одной вселенной. Тем не менее эта сильная форма универсальности по-прежнему сохраняется, поскольку квантовые компьютеры способны эффективно воспроизводить любую физически возможную квантовую среду, даже когда взаимодействует огромное множество вселенных. Квантовые компьютеры также могут эффективно решать определённые математические задачи, например, разложение на множители, которые с классических позиций являются трудноразрешимыми, а также реализовывать невозможные в классике разновидности криптографии. Квантовые вычисления — это качественно новый способ покорения природы.
Следующая глава, вероятно, приведёт в ярость многих математиков. С этим ничего не поделаешь. Математика — это не то, чем они её считают.
(Читатели, не знакомые с традиционными допущениями относительно надёжности математического знания, могут посчитать главный вывод этой главы — о том, что наше знание математической истины зависит от нашего знания физического мира, и не более надёжно, чем это знание, — очевидным. Возможно, эти читатели предпочтут лишь просмотреть эту главу по диагонали и сразу же перейти к обсуждению времени в главе 11.)
10. Природа математики
«Структура реальности», которую я описывал до сих пор, была структурой физической реальности. Тем не менее я свободно ссылался на такие сущности, которых нет нигде в физическом мире, — абстракции, такие как числа и бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя отнести к физическим сущностям в том смысле, в каком к ним относятся камни и планеты. Как я уже сказал, «книга природы» Галилея — это всего лишь метафора. И кроме того, существуют фикции виртуальной реальности — несуществующие среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. Ещё дальше лежит то, что я назвал CGT-средами, которые невозможно воспроизвести даже в виртуальной реальности. Я говорил, что существует бесконечно много таких сред для каждой среды, которую можно создать. Но что значит сказать, что такие среды «существуют»? Если они не существуют ни в реальности, ни даже в виртуальной реальности, то где же они существуют?
А существуют ли абстрактные нефизические сущности вообще? Являются ли они частью структуры реальности? Меня здесь занимают вовсе не проблемы словоупотребления. Очевидно, что числа, физические законы и т. п. действительно в некотором смысле «существуют», и в некотором — нет. Подлинный вопрос состоит в следующем: как мы должны понимать такие сущности? Какие из них являются всего лишь удобными словесными конструкциями, ссылающимися, в конечном счёте, лишь на обычную физическую реальность? Какие из них — всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны, как правила тривиальной игры, на которые нужно просто посмотреть? А какие, если такие вообще есть, можно объяснить, только приписав им независимое существование? Всё, что относится к последнему виду, должно быть частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что это необходимо понять, чтобы понять всё, что понято.
Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критерием д-ра Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли существует данная абстракция, мы должны спросить, «даёт ли она ответную реакцию» сложным, автономным образом. Например, математики характеризуют «натуральные числа» 1, 2, 3… точным определением:
• 1 является натуральным числом;
• у каждого натурального числа есть ровно одно следующее число, которое также является натуральным;
• 1 не является следующим для какого-либо натурального числа;
• два натуральных числа, следующие за которыми одинаковы, также одинаковы между собой.
Подобные определения — суть попытки абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дискретной величины. (Точнее, как я объяснил в предыдущей главе, это понятие на самом деле является квантово-механическим.) Арифметические действия, например, умножение и сложение, а также последующие понятия вроде простых чисел, в этом случае определяют, ссылаясь на «натуральные числа». Но создав абстрактные «натуральные числа» через это определение и поняв их через эту интуицию, мы обнаруживаем, что есть гораздо больше такого, чего мы о них всё ещё не понимаем. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает, какие числа являются простыми, а какие не являются. Но понимание того, какие числа являются простыми, — например, как распределены простые числа на очень больших интервалах, как они сгруппированы, насколько и почему они «случайны», — влечёт за собой массу новых озарений и новых объяснений. Фактически оказывается, что сама теория чисел — это целый мир в себе (это часто употребляемый термин). Чтобы глубже понять числа, необходимо определить много новых классов абстрактных сущностей, а также задать многочисленные новые структуры и связи между ними. При этом обнаруживается, что некоторые из этих абстрактных структур связаны с другими интуитивными представлениями, которыми мы уже обладаем, и которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с числами — такими, например, как симметрия, вращение, континуум, множества, бесконечность и многое другое. Получается, что абстрактные математические сущности, с которыми, как нам кажется, мы уже знакомы, тем не менее могут удивить или разочаровать нас. Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они являются сложными и автономными, и, следовательно, по критерию д-ра Джонсона мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо ещё, что мы уже понимаем, но можем понять их как независимые сущности, следует сделать вывод, что они являются реальными, независимыми сущностями.
Тем не менее абстрактные сущности неосязаемы. Они не дают ответной физической реакции так, как это делает камень, поэтому эксперимент и наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в естественных науках. В математике такую роль играет доказательство. Камень д-ра Джонсона оказывал ответное воздействие тем, что от него отскакивала нога. Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и объяснить это. С традиционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство никак не ссылается на физический мир. Доказательство можно провести в своём собственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, который имитирует среду с неправильной физикой. При единственном условии — следования правилам математического вывода — мы получим тот же самый ответ, что и любой другой на нашем месте. И вновь, доминирующее представление состоит в том, что, за исключением случая грубых ошибок, если мы что-то доказали, то с абсолютной уверенностью знаем, что это истина.
