На самом деле вселенная «Астероидов» имеет вполне определенную форму. Если допустить существование третьего измерения, в котором эту вселенную можно сложить, то, соединив верхний и нижний края экрана, мы получим цилиндр. Поскольку левый и правый края экрана также смыкаются, можно соединить два конца такого цилиндра и получить объект в форме бублика, который математики называют тором. Поверхность этого трехмерного тела и есть конечная вселенная игры «Астероиды».
Если взять любое конечное трехмерное тело, его двумерная поверхность образует альтернативную вселенную, конечную и не имеющую границ. Еще один пример такой двумерной вселенной дает поверхность сферы. Такие двумерные вселенные – не просто математические игрушки: они дают ключ к путешествиям по поверхности Земли. Многие культуры по всему миру задавались одним и тем же вопросом: бесконечна ли Земля, или же она имеет край, с которого можно упасть? Многие цивилизации представляли Землю в виде диска, окруженного водой, – наподобие мира Трумана.
Идея сферической Земли начала утверждаться лишь у пифагорейцев в V в. до н. э. Исчезновение кораблей за горизонтом, форма тени, отбрасываемой Землей на Луну во время затмений, изменение положения Солнца и звезд по мере продвижения на юг – все это способствовало такому сдвигу мировоззрения. Кругосветная экспедиция, организованная в 1519 г. Фернаном Магелланом (сам он погиб в этом путешествии), окончательно и несомненно доказала, что Земля имеет форму шара.
А как же Вселенная? Имеет ли она форму? Мы находимся примерно в том же положении, что и культуры древности, которые размышляли о форме Земли и хотели узнать, продолжается ли она бесконечно, или имеет край, или же может быть каким-то образом замкнута.
Но как можно сложить трехмерную вселенную, чтобы она имела конечный объем, но не имела краев? Тут может помочь математика, которая позволяет встроить нашу трехмерную Вселенную в пространство, имеющее большее число измерений, и сложить ее так же, как мы сложили мир игры «Астероиды». Хотя физически представить себе такое складывание невозможно, язык математики дает нам уравнения, позволяющие описать такие конечные трехмерные вселенные и, что еще более существенно, изучить их свойства.
Например, мы можем жить в трехмерной версии игры «Астероиды». Возможно, Вселенная, по существу, представляет собой гигантский куб с шестью гранями, подобный нашей игральной кости. Когда космический корабль достигает одной из этих граней, он плавно выходит из кубической вселенной через одну грань и вновь появляется на ее противоположной грани. В «Астероидах» было два замкнутых направления – влево-вправо и вверх-вниз. В трехмерной кубической вселенной должно быть замкнуто и третье направление. Если такой куб поместить в четырехмерную вселенную, его можно сложить, смыкая его грани, и получить четырехмерный бублик, он же тор, трехмерная поверхность которого и есть наша Вселенная.
Но наша Вселенная может иметь и другие формы. Окружность есть конечная двумерная фигура, поверхность которой – это конечная одномерная вселенная. Сфера есть конечная трехмерная фигура, поверхность которой – это конечная двумерная вселенная. При помощи математических уравнений можно построить четырехмерную сферу, поверхность которой будет конечной трехмерной вселенной, – и это будет еще одна возможная модель нашей Вселенной.
Даже если математика дает нам возможные варианты конечных вселенных, не имеющих границ, сможем ли мы когда-нибудь узнать, конечна ли наша Вселенная и какой может быть ее форма? Следует ли нам ожидать появления звездных Магелланов, которые смогут совершить кругосветное путешествие вокруг Вселенной? Учитывая масштабы известной Вселенной, путешествия с непосредственным участием человека кажутся довольно безнадежным способом проверки конечности Вселенной. Но в космосе есть другие путешественники, которые странствовали во Вселенной миллиарды лет и могут кое-что рассказать нам о том, конечна она или нет. Речь идет о фотонах.
Космические Магелланы
Свет – великий путешественник. На нас постоянно падает свет, странствовавший по Вселенной на протяжении многих миллиардов лет. Не может ли часть этого света рассказать нам что-нибудь, что позволит нам догадаться, конечна ли Вселенная? Мы уже поняли, что случится с космическим кораблем, отправившимся в глубины космоса: в такой конечной вселенной он должен в конце концов вернуться в начальную точку своего путешествия, как в 1522 г. вернулись в Севилью корабли Магеллана.
То же может случиться и со светом. Представим себе фотон, покидающий наше Солнце в начале его существования, около 4,5 миллиарда лет назад. Предположим, что мы живем на поверхности четырехмерного бублика, в котором противоположные грани нашей кубической вселенной соединены. Что происходит со светом при приближении к одной из таких граней? Он плавно проходит сквозь нее, возникает на противоположной грани и может продолжать свое путешествие к его исходной точке. Если по пути его ничто не остановит, он может вернуться и попасть в телескоп земного наблюдателя, который впервые обнаружит этот фотон после его долгого путешествия. Что же увидит такой астроном? Да ничего особенного. Свет будет выглядеть так, как будто он был испущен очень удаленной звездой в начале ее существования. Понять, что астроном видит, как выглядело наше Солнце 4,5 миллиарда лет назад, будет очень трудно.
Однако такое положение дает нам возможность попробовать доказать конечность Вселенной, потому что мы можем посмотреть в противоположном направлении и проверить, не видна ли нам похожая картина на противоположной грани. Исследователи во Франции, Польше и США изучали распределение света, возникшего на очень ранних стадиях существования Вселенной в надежде, что разные части составляемой ими картины могут совпасть друг с другом.
Этим ученым показалось, к их немалому удивлению и неменьшему восторгу, что им удалось обнаружить первые признаки совпадения данных. Они начали анализ, который должен был показать, какие именно формы могли дать наблюдаемое распределение длин волн. Согласно полученным результатам, наилучшим кандидатом на роль формы Вселенной, в которой могли появиться такие распределения, был додекаэдр. Это еще одна форма «игральной кости», имеющая 12 пятиугольных граней. Как это ни удивительно, более 2000 лет назад Платон предполагал, что небесный свод, к которому прикреплены звезды, имеет форму не сферы, но именно додекаэдра. Но современная интерпретация предполагает, что, как и в случае сложенного куба, на взаимно противоположных гранях такого додекаэдра пространство смыкается. Интересно отметить, что для совмещения пятиугольников пришлось несколько повернуть их (на 36°). Однако большинству астрономов эти результаты не показались убедительными. Трудно сказать, не являются ли такие соответствия результатом случайного совпадения.
Существует еще один способ получить от света информацию о геометрии Вселенной. Свет может рассказать нам, как Вселенная искривляется. Предположим, наш путешественник, вооруженный телескопом, отправляется из своей деревни через совершенно однородную равнину. Сначала Земля кажется ему плоской, но через некоторое время становится заметной ее кривизна: оглянувшись назад, путешественник уже не видит своей деревни – что-то мешает ему ее увидеть. Если кривизна сохраняется по всей поверхности, то такая поверхность должна быть конечной. Такая кривизна, какую имеет шар, называется положительной кривизной. Плоская поверхность может быть неограниченной, простирающейся бесконечно, но также может быть подобной миру игры «Астероиды», в котором Вселенная экрана оказывается плоской, но конечной. Про плоские поверхности говорят, что они имеют нулевую кривизну. Существует еще один тип кривизны, подобный кривизне седла или чипсов Pringles. Такая фигура изгибается вниз в одном направлении и вверх – в другом. Ее называют отрицательной кривизной в отличие от положительной кривизны поверхности шара. Она создает не конечные, подобные поверхности шара, а бесконечные поверхности.
