Была создана комиссия из трех выдающихся математиков, которые должны были выбрать несколько подходящих математических проблем и оценить работы претендентов. Одно из предложенных ими заданий состояло в представлении математического доказательства устойчивости Солнечной системы. Будет ли она и дальше работать как часы, или же в какой-то момент в будущем Земля может улететь в пространство и покинуть пределы Солнечной системы?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо было решить те самые уравнения, которые завели в тупик Ньютона. Пуанкаре полагал, что его мастерства должно быть достаточно для победы в конкурсе. Математики часто используют следующий прием: они пытаются сначала решить задачу в упрощенном варианте, чтобы понять, имеет ли она решение. Поэтому Пуанкаре начал с задачи трех тел. Но, поскольку и она была слишком сложной, он решил еще более упростить задачу. Вместо того чтобы рассматривать Солнце, Землю и Луну, почему бы не попытаться разобраться с системой, состоящей из двух планет и пылинки? Так как пылинка не будет влиять на планеты, можно предположить, что они будут попросту вращаться одна вокруг другой по эллиптическим траекториям в соответствии с решением Ньютона. И в то же время сама пылинка будет испытывать воздействие гравитационных сил обеих планет. Пуанкаре взялся за воссоздание траектории, описываемой такой пылинкой. Некоторое понимание этой траектории внесло бы интересный вклад в решение исходной задачи.
Хотя ему и не удалось полностью решить задачу, представленной им работы было более чем достаточно для получения премии короля Оскара. Пуанкаре смог доказать существование интересного класса траекторий, воспроизводящих самих себя, так называемых периодических траекторий. Периодические орбиты устойчивы по определению, так как они снова и снова повторяются во времени, подобно эллипсам, которые заведомо описывают две планеты системы.
Французские власти были чрезвычайно обрадованы тем, что награду получил их соотечественник. В XIX в. Германия опередила Францию по части математики, так что французские академики немедленно провозгласили победу Пуанкаре доказательством возрождения французской математики. Гастон Дарбу, непременный секретарь Французской академии наук, заявил:
Начиная с этого момента имя Анри Пуанкаре стало известно широкой публике, которая привыкла затем видеть в нашем коллеге не просто особенно многообещающего математика, но великого ученого, которым Франция по праву может гордиться.
Маленькая ошибка и ее большие последствия
Решение Пуанкаре готовилось к изданию в специальном выпуске журнала Acta Mathematica Шведской королевской академии наук. И тут наступил тот самый момент, которого больше всего на свете боится каждый математик. Худший кошмар любого математика. Пуанкаре думал, что его работе ничто не угрожает. Он проверил каждый шаг своего доказательства. И перед самой публикацией один из редакторов журнала усомнился в одном из этапов математического рассуждения.
Пуанкаре считал, что малые изменения положения планет, небольшие округления в некоторых местах, были допустимы, так как они могли вызвать лишь малые изменения предсказанных орбит. Это предположение казалось вполне разумным. Но никакого обоснования этому допущению приведено не было. А в математическом доказательстве каждый шаг, каждое предположение должны быть основаны на строгой математической логике.
Редактор попросил Пуанкаре как-либо объяснить этот пробел в доказательстве. Но, когда Пуанкаре попытался обосновать этот шаг, он осознал, что допустил серьезную ошибку. Пытаясь ограничить ущерб для своей репутации, он написал председателю комитета по присуждению премии Гёсте Миттаг-Леффлеру:
Последствия этой ошибки серьезнее, чем я предполагал вначале. Не скрою от Вас, насколько огорчило меня это открытие […]. Не знаю, признаете ли Вы оставшиеся результаты достойными той высокой награды, которую Вы им присудили. (Во всяком случае, я могу лишь признаться Вам как верному другу в своем замешательстве.) Я напишу Вам подробнее, когда буду яснее понимать положение.
Миттаг-Леффлер решил известить других членов жюри:
Работа Пуанкаре обладает такой редкой глубиной и творческой силой, что она несомненно откроет новую эпоху в анализе и его приложениях к астрономии. Однако разъяснения необходимо значительно расширить, и в данный момент я прошу многоуважаемого автора просветить меня по некоторым важным вопросам.
Сражаясь с возникшей проблемой, Пуанкаре понял, что он попросту был неправ. Даже малое изменение начальных условий может привести к возникновению разительно отличающихся орбит. Предложенное им приближение было недопустимым. Его предположение было ошибочным.
Пуанкаре телеграфировал печальные новости Миттаг-Леффлеру и попытался остановить публикацию своей статьи. Он писал ему в смущении:
Может случиться, что малые различия в начальных условиях порождают чрезвычайно большие расхождения в результирующих явлениях. Малая ошибка в первых порождает огромную ошибку в последних. Предсказания становятся невозможными.
Это сообщение «чрезвычайно озадачило» Миттаг-Леффлера:
Не то чтобы я сомневался в том, что Ваша работа в любом случае будет воспринята большинством геометров как гениальное произведение и станет отправной точкой для всех дальнейших трудов по небесной механике. Не думайте поэтому, что я сожалею о присуждении Вам премии […] Но хуже всего то, что Ваше письмо пришло слишком поздно и статья уже была разослана.
На карту была поставлена репутация Миттаг-Леффлера, который не обнаружил ошибку до публичного присуждения премии Пуанкаре. Не так следовало бы отмечать юбилей монарха! «Пожалуйста, не говорите никому ни слова об этой прискорбной истории. Завтра я сообщу Вам все подробности».
Следующие несколько недель прошли в попытках изъять отпечатанные экземпляры статьи, не возбуждая ничьих подозрений. Миттаг-Леффлер предложил Пуанкаре оплатить печать исходного варианта. Пристыженный Пуанкаре согласился, хотя стоимость тиража составила более 3500 крон, то есть на тысячу больше той премии, которую он изначально завоевал.
В попытке исправить положение Пуанкаре попробовал разобраться со своей ошибкой, понять, где и почему он был неправ. В 1890 г. он написал вторую, расширенную статью, в которой объяснял свое предположение о возможности внезапного разлета, по-видимому, устойчивых систем вследствие чрезвычайно малых изменений.
Открытие Пуанкаре, вызванное его ошибкой, привело к появлению одной из важнейших математических концепций прошлого века – понятия хаоса. Это открытие установило существенные пределы тому, что может познать человечество. Пусть я выписал все уравнения движения игральной кости, но что, если моя кость ведет себя подобно планетам Солнечной системы? В соответствии с открытием Пуанкаре, даже одна маленькая ошибка в определении начального положения кости может разрастись в огромное расхождение исхода броска к тому моменту, как кость закончит свое движение по столу. Значит ли это, что будущее игральной кости из Лас-Вегаса сокрыто завесой математики хаоса?
