В этом и состоит одна из наиболее интересных черт естественных наук – они постоянно развиваются, в них всегда появляется что-то новое. Мы можем сочувственно относиться к старым теориям, утратившим свое значение. Разумеется, новые теории вырастают из старых. Ученый постоянно опасается, что его теория, модная в данный момент и получающая многочисленные премии, внезапно может оказаться вытеснена чем-то новым. Модель атомного пудинга, идея абсолютного времени, одновременная определимость положения и импульса частиц – все они давно покинули вершину списка научных бестселлеров. Их заменили новые теории.
Та модель Вселенной, о которой я читал в школе, с тех пор была полностью переписана. Однако с математическими теоремами, которые я учил в то же время, ничего такого не произошло. Они столь же справедливы сегодня, как и в тот день, когда я их впервые прочел, как и в тот день, когда они были открыты. А с этого дня в некоторых случаях прошло целых 2000 лет. Меня, неуверенного в себе прыщавого подростка, особенно привлекала такая определенность. Это не означает, что математика статична. Она постоянно развивается по мере того, как неизвестное становится известным, но такое известное остается известным и устойчивым, образуя первые страницы очередной великой истории. Почему же процесс достижения математической истины столь отличен от того, с чем имеет дело естествоиспытатель, не имеющий надежды получить окончательное знание?
Самый важный ингредиент на кухне математика – это доказательство.
Доказательство: путь к истине
Существуют свидетельства того, что люди занимались математикой уже во 2-м тысячелетии до н. э. На вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах находятся сложные вычисления и решения задач: оценки значения π, формула расчета объема пирамиды, алгоритмы решения квадратных уравнений. Но, как правило, эти документы описывают процедуры, пригодные для решения конкретных задач. Мы не находим обоснований того, почему такие процедуры всегда работают, за исключением убедительных свидетельств того, что они успешно работали в тысячах предыдущих случаев, зарегистрированных на более ранних глиняных табличках. Математическое знание было основано на опыте и обладало скорее естественнонаучным оттенком. Новые процедуры разрабатывались, если возникала задача, которую нельзя было решить при помощи уже известных алгоритмов.
Затем, в районе V в. до н. э., положение дел начало изменяться, когда за эту тему взялись древние греки. В дополнение к алгоритмам стали появляться рассуждения, обосновывавшие, почему та или иная формула всегда работает, как указано на упаковке – или на глиняной табличке. Такое обоснование уже не сводилось к тому, что, раз алгоритм сработал последнюю тысячу раз, он, вероятно, будет работать и дальше: рассуждение объясняло, почему данное утверждение всегда будет справедливым. Так появилась идея доказательства.
Первым известным автором математического доказательства считается Фалес Милетский. Он доказал, что если взять любую точку на окружности и соединить ее с двумя концами диаметра этой окружности, то полученный угол всегда будет прямым. Какую бы окружность вы ни взяли, какую бы точку на ней ни выбрали, вы всегда получаете в точности прямой угол. Не приблизительно прямой, и не потому, что так, по-видимому, получается на всех ваших чертежах. Этот результат следует из свойств окружностей и прямых.
Доказательство Фалеса отталкивается от положений, в справедливости которых его читатель уже уверен и приходит к этому новому элементу знания, который вовсе не кажется изначально очевидным при простом взгляде на окружность, путем изобретательной последовательности логических ходов. Фокус заключается в построении отрезка, соединяющего исходную точку В, лежащую на окружности, с центром окружности О.
Какая нам от этого польза? Теперь у нас есть два треугольника, каждый из которых имеет две стороны равной длины. Это значит, что противоположные центру окружности углы в каждом из этих треугольников равны. Это свойство таких треугольников к тому времени уже было доказано. Возьмем большой треугольник АВС, который мы начертили в самом начале. Сумма его углов есть 2α + 2β. Тогда, с учетом того, что сумма всех углов треугольника должна быть равна 180°, мы знаем, что α + β = 90°, как и утверждал Фалес.
Когда я впервые увидел это доказательство в детстве, я пришел в настоящий восторг. Из картинки видно, что угол, примыкающий к окружности, похож на прямой. Но можно ли быть в этом уверенным? Мой разум искал какую-то причину, по которой это должно быть так. А потом, когда я перевернул страницу, увидел третий отрезок, который Фалес провел в центр окружности, и осознал логические следствия такого построения, я внезапно понял с ошеломляющей ясностью, почему этот угол действительно должен быть равен 90°.
Заметьте, что уже в этом доказательстве здание математического рассуждения строится на фундаменте положений, которые были доказаны ранее: например, того факта, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Открытие Фалеса, в свою очередь, стало основой для построения следующего этажа математического здания.
Доказательство Фалеса – лишь одно из многих, включенных в «Начала» Евклида. Многие считают эту книгу образцом самой сути математики и математического доказательства. Она начинается с основных структурных элементов, аксиом, геометрических утверждений, которые кажутся настолько самоочевидными, что читатель готов принять их в качестве надежного фундамента, на котором можно начать выстраивать логическое рассуждение.
Идея доказательства не возникла сама по себе, на пустом месте. Она скорее выросла из нового литературного стиля, разработанного в Древней Греции. Искусство риторики, сформулированное Аристотелем и подобными ему авторами, создало новый тип рассуждений, направленных на убеждение аудитории. Шла ли речь о юридических спорах, политических кампаниях или просто литературном повествовании, аудитории предлагалось совершить путешествие по логическому маршруту, в котором оратор пытался убедить слушателей в правоте своей позиции. Математика Египта и Вавилона выросла из строительства и измерения новых городов, возникавших в долинах Нила и Евфрата. Новая потребность в логике и риторических рассуждениях возникла из политических институтов эпохи расцвета греческих городов-государств, лежавших в основе греческой империи.
Для Аристотеля риторика была сочетанием чистой логики с методами, рассчитанными на воздействие на эмоции публики. Математическое доказательство происходит от первого из этих ингредиентов. Однако доказательство также связано с повествованием. И именно поэтому доказательство появилось в этот момент и в этом месте, вероятно, благодаря замысловатым историям, созданным такими драматургами, как Софокл и Еврипид, не в меньшей степени, чем благодаря философским диалогам Аристотеля и Платона.
В свою очередь, математические исследования греков со временем вышли из области практических алгоритмов для строителей и землемеров в сферу удивительных открытий, больше похожих на математические истории, поражающие воображение читателя.
