Переставление цифр дает cba, что можно выразить как 100c + 10b + а.
Для получения промежуточного результата требуется вычесть cba из abc. Получаем, что abc - cba равно
(100a + 10b + с) - (100c + 10b + а).
Два члена с буквой b сокращают друг друга, так что промежуточный результат равен
99a - 99c, или 99(a - c).
На своем начальном уровне алгебра не предполагает особо глубоких озарений, однако требует соблюдения ряда правил. Цель всего происходящего состоит в том, чтобы применять эти правила, пока выражение не станет максимально простым. Выражение 99(a - c) приведено именно в такой вид, в какой нужно.
Поскольку первая и последняя цифры в числе abc различаются по крайней мере на 2, получаем, что а - с может иметь одно из значений 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.
Тем самым, число 99(a - с) — одно из следующих: 198, 297, 396, 495, 594, 693 или 792. С какого бы трехзначного числа мы ни начали, вычитание его из числа, записанного с помощью его же цифр, взятых в обратном порядке, даст промежуточный результат, который непременно будет равен одному из семи перечисленных чисел.
Заключительный этап состоит в том, чтобы сложить это промежуточное число с тем, которое получается из него изменением порядка цифр на противоположный.
Повторим то, что мы делали выше, в применении к промежуточному числу.
Пусть наше промежуточное число равно def, то есть 100d + 10e + f Требуется сложить def и fed.
Рассматривая приведенный список возможных промежуточных чисел, мы замечаем, что среднее число e всегда равно 9. Кроме того, первая и третья цифры всегда дают в сумме 9 — другими словами, d + f = 9.
Итак, def + fed равно
100d + 10e + f + 100f + 10e + d,
или
100(d + f) + 20e + d + f,
что есть
(100 × 9) + (20 × 9) + 9.
Или, другими словами,
Вуаля! Сумма равна 1089 — и секрет фокуса раскрыт.
Элемент неожиданности в «фокусе 1089» состоит в том, что, какое бы число мы случайно ни выбрали, в ответе всегда получается одно и то же. Алгебра позволяет увидеть то, что скрыто за ловкостью рук, указывая путь, ведущий от конкретного к абстрактному, то есть предлагая следить не за поведением отдельного числа, а за поведением любого, произвольного числа. Это незаменимое средство, причем не только в математике. Другие науки также полагаются на язык уравнений.
* * *
В 1621 году во Франции вышел латинский перевод Диофантова шедевра «Арифметика». Новое издание оживило интерес к античным методам решения задач и в сочетании с усовершенствованными числовыми и буквенными обозначениями распахнуло двери в новую эру математического мышления. «Арифметика» Диофанта стала настольной книгой Пьера де Ферма
[36] (1601–1665), тулузского судьи и страстного математика-любителя, исписавшего поля всех ее страниц своими комментариями. В частности, рядом с разделом, где говорилось о Пифагоровых тройках — любых натуральных числах а, b и с, таких что а2 + b2 = с2 (например, 3, 4 и 5), — Ферма отметил, что невозможно подобрать такие значения а, b и с, чтобы выполнялось равенство а3 + b3 = с3. Не смог он найти и значения а, b и с, для которых было бы верно а4 + b4 = с4. В результате Ферма написал — там же, на полях «Арифметики», — что для всякого числа n, превышающего 2, невозможно найти значения а, b и с, которые удовлетворяли бы уравнению аn + bn = cn. «У меня имеется поистине чудесное доказательство, однако эти поля слишком узки для него», — написал он. Ферма так и не представил своего доказательства — чудесного или уж как получится, — даже когда узость полей его более не стесняла. Заметки Ферма на полях «Арифметики» отчасти указывают на то, что доказательство ему было известно, или же он сам уверовал, что его знает, а может, просто решил подзадорить публику. Во всяком случае, его нахальное заявление оказалось невероятной силы приманкой для многих поколений математиков, а само утверждение, вошедшее в науку как Великая теорема Ферма, оставалось самой знаменитой нерешенной задачей в математике до 1995 года, когда ее наконец продавил британец Эндрю Уайлс. Алгебра бывает обманчиво скромной в подобных ситуациях — она позволяет легко сформулировать задачу, которую решить оказывается совсем не легко. Вот и доказательство теоремы Ферма, предложенное Уайлсом, столь сложно, что, судя по всему, его понимают не более пары сотен человек во всем мире.
* * *
Прогресс в математических обозначениях сделал возможным открытие новых концепций. Невероятно важным изобретением стали логарифмы, придуманные в начале XVII столетия выдающимся шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) — бароном, восьмым лэрдом Мерчинстона, который, впрочем, прижизненно был куда более знаменит своими работами по теологии. Непер написал имевшую огромный успех книгу — толкование Апокалипсиса, — где утверждал, что папа есть Антихрист, и предсказывал, что конец света наступит между 1688 и 1700 годами. По вечерам он любил облачаться в длинное платье и разгуливать за пределами своего родового замка, что немало способствовало его репутации чародея. Кроме того, он экспериментировал с удобрением почвы на своих обширных владениях близ Эдинбурга, а также предложил несколько изобретений, касающихся военной техники, например металлическую колесницу, движимую находящимися внутри нее воинами, которые будут «поражать врагов во все стороны через маленькие отверстия в корпусе колесницы», и устройства для «плавания под водой, с ныряльщиками и иными хитрыми приспособлениями для внезапного нападения на врага» — предшественников танка и субмарины. Занимаясь математикой, Непер популяризировал применение десятичной запятой, а кроме того предложил идею логарифмов, изобретя и сам термин как производное от греческих слов logos и arithmos — «относительное число».
Пожалуйста, не пугайтесь, прочитав следующее определение: логарифм числа есть показатель степени в выражении данного числа в виде степени числа 10. Логарифмы проще понять, если выразить их алгебраически: если а = 10b, то логарифм числа а равен b. Итак:
