Чтобы понять суть игры, надо объяснить, что значит «некрапленая монетка». Если монетку кидали миллион раз, то решка будет выпадать примерно в половине раз. Чем дольше бросают монетку, тем ближе к 50 % будет частота решек. Кроме того, монетка «некрапленая», если каждый следующий бросок не зависит от предыдущего. Неважно, что выпало только что – орел или решка: в следующий раз с той же вероятностью в 50 % выпадет орел или решка.
Но вот в чем загвоздка. Хотя мы ожидаем, что после миллиона бросков дядя Луи и Дейв будут идти примерно ноздря в ноздрю, мы имеем в виду именно дроби.
Технический уголок дяди Дейва. Немного статистики
В начале книги мы пообещали вам следить, чтобы количество формул не превышало абсолютного минимума. Вот уже некоторое время мы придерживаемся правила «без формул», но при чтении такой математикоемкой главы, как эта, наверняка найдутся мазохисты, которые потребуют еще. «Откуда взялись эти числа?» – слышится ваш вопль. Поэтому вот вам еще капелька математики.
Когда дядя Луи бросает некрапленую монетку, существует, как мы упоминали, достаточно высокая вероятность, что решка будет выпадать примерно в половине раз. Насколько точно? Есть полезное правило: разброс результатов будет примерно равен квадратному корню из удвоенного ожидаемого количества решек (то есть «побед»). Для простоты мы немного сжульничали, но основную картину это не меняет. Так что если вы бросаете монетку миллион раз, то, скорее всего, получите решку полмиллиона раз плюс-минус 1000 раз.
Если Луи с Дейвом бросают монетку миллион раз, Луи может и выиграть много денег, и проиграть много денег, зато утешением ему станет мысль о том, что все равно он выигрывал почти 50 % раз. Если он выиграет 501 тысячу раз (на тысячу выигрышей больше половины), то все равно окажется, что он выигрывал всего 50,1 % раз. Это и в самом деле напрасная трата времени и не слишком надежный способ сорвать приличный куш (или проиграться в дым).
В полновесных долларах картина будет иной. После миллиона бросков весьма вероятно, что Дейв или дядя Луи выиграют примерно на тысячу раз больше половины и сорвут приличный куш (или наоборот). Если вам интересно, откуда взялось это число – 1000, – рекомендуем посетить «Технический уголок дяди Дейва». Если неинтересно, ничего страшного. Это не входит в обязательную литературу по предмету.
Нас должно радовать, что в наших силах предсказать вероятность едва ли не любого исхода. Например, в игре в миллион подбрасываний Луи (или Дейв) вправе ожидать различных результатов игры со следующими вероятностями:
Чем выше кривая, тем вероятнее такой исход. Самый вероятный результат – это что они будут квиты, но Луи может выиграть (или проиграть) одну-две тысячи и при этом не слишком удивляться своему (не)везению. Хвостики по обеим сторонам графика означают, что крайне маловероятно, чтобы Дейв или дядя Луи выигрывали в подавляющем большинстве случаев. Однако, строго говоря, не исключено, что Луи бросит монетку миллион раз и каждый раз будет выпадать решка. С другой стороны, вероятность такого исхода так мала, что слово «микроскопический» рядом с ней кажется наглым преувеличением.
Если бы за везением Луи или Дейва в ходе игры следил математик, он бы описал их прогресс как «случайное блуждание». Чтобы понять, что это такое, найдите какой-нибудь неподвижный предмет, например фонарный столб. Теперь встаньте рядом с ним и бросьте монетку. Если выпадет решка, сделайте шаг на запад, а если выпадет орел – на восток. С течением времени вы с равной вероятностью окажетесь к востоку или к западу от столба, но при этом в среднем будете от него удаляться
[45].
Вместо того чтобы просто описывать везение дяди Луи, мы докажем свою точку зрения тем, что просто сядем и подбросим монетку миллион раз. Ну, как дела у Луи?
Только поглядите! Он выиграл у своего бедного, изнуренного интеллектуальным трудом племянника-студента целых 2000 долларов! Если вы посмотрите на то, как фортуна улыбалась Луи и как она от него отворачивалась, то наверняка заметите тенденции. Возможно, примерно в середине игры у Луи выдалась череда выигрышей. Дело не в том, что у него «крапленая» монетка, в которую со стороны решки впаян кусочек свинца, дело не в том, что Луи – закоренелый шулер. Это просто результат того, что ваш мозг видит закономерности там, где их нет. Если вы когда-нибудь вкладывали деньги в ценные бумаги, то, вероятно, наблюдали такие же закономерности, когда индекс промышленных акций Доу-Джонса вдруг в течение двух месяцев кряду держался выше среднего
[46]. Главное, что следует усвоить, – это что нельзя пытаться покорять рынок ценных бумаг, предсказывая случайные взлеты и падения. Как всегда говорил наш мудрый дядюшка Мортимер, «покупай и храни».
Мы дали вам маленький урок статистики, поскольку собираемся разъяснить некоторые загадки, про которые вы даже не подозревали, что это загадки. Вернемся к кузену Герману, который уверен, что вся Вселенная против него
[47]. Разумеется, ему не под силу представить себе все, что способна сделать с ним Вселенная, дай ей волю, поэтому Дейв из чистой вредности дает Герману еще один повод не спать по ночам. «Представь себе, – говорит он, – что ты сидишь себе в гостиной, спокойно пишешь, приглядываешь за невидимками, которые живут у тебя в стенах, и вдруг весь воздух раз – и вылетает в кухню, а ты задыхаешься!» Ужас, правда? И, строго говоря, такое событие не лишено вероятности.
«Подумай об этом!» – советует Дейв и выбегает, оставив Германа в комнате одного.
Воздух состоит из молекул кислорода, азота, углекислого газа и еще всякой всячины, и все эти молекулы летают себе и почти никогда не натыкаются друг на друга. Это всем понятно, но на самом деле означает, что когда молекулы накручивают зигзаги по гостиной, их не волнует, чем заняты другие молекулы. Так что шансы на то, где находится молекула – в гостиной или в кухне, – примерно равны.
Если бы вы были олицетворением вселенной случайностей – этаким «космическим генератором случайных чисел» – и если бы вашей задачей было «решать», где будет находиться каждая конкретная молекула в каждый конкретный момент, вы могли бы для этого бросать монетку. Орел – и молекула в гостиной, решка – и она в кухне. Так вот, способен ли космический генератор случайных чисел хотя бы в принципе создать в комнате вакуум?
