Время как измерение
Даже самые лучшие мысленные эксперименты не доказывают ничего. Перед нами открывается путь от вида, открывшегося с Горы Ньютона, к точной математической теории, к которой он стремился. Это путь через новое измерение – через время, понимаемое по-новому.
Кривые на рисунке с Горой Ньютона – это траектории. Каждая является совокупностью точек, которые занимает тело (наш камень) в последовательные моменты времени. Конечно, сами по себе они не являются ни телами в пространстве, ни физическими объектами в прямом смысле слова. Тем не менее траектории определяют геометрические объекты и являются – как мы увидим далее – основанием для понимания физики движения. Чтобы правильно понять их, давайте посмотрим, где они живут.
Отдельно взятая траектория несет в себе некоторую информацию о движении отдельного тела, но из одной только кривой мы не сможем выяснить, когда именно тело прошло по различным частям этой кривой. Мы можем расположить на точках кривой отметки о времени, восстанавливая недостающую информацию. Но это становится неудобным, если мы хотим рассмотреть сразу несколько траекторий, потому что любой промежуток времени соответствует целому винегрету точек, по одной на каждой территории, и их рисунок с течением времени меняется. Гораздо лучше рассматривать время как еще одно измерение. Траектории чувствуют себя как дома в расширенной концептуальной вселенной пространства-времени. Чтобы выявить существенно важную природу этого принципиального нововведения, давайте возьмем более простую ситуацию, чем Гора Ньютона, а именно – парадокс Зенона о гонке между Ахиллом и черепахой. Во-первых, отметим, что здесь траектории в пространстве представлены как две частично перекрывающие друг друга прямые линии – не очень информативно! Поднявшись на наблюдательный пункт пространства-времени, мы можем еще раз представить себе гонку между Ахиллом и черепахой таким образом, чтобы об их состязании и, если уж на то пошло, о самом движении в целом было легче судить.
Илл. 18. По мере того, как время идет (направо), и Ахилл, и черепаха продвигаются вдоль беговой дорожки (прямые, изображающие это движение, на рисунке направлены под углом вверх). Траектория Ахилла уходит вверх круче, потому что за заданный интервал времени он покрывает большее расстояние. Здесь время стало полноправным измерением на равных основаниях с расстоянием (иными словами, с пространством).
Если мы хотим синхронизировать описаниях двух наших траекторий, имеет смысл представить время как отдельную величину – новое измерение – и расставить точки, обозначающие положения обоих действующих лиц в каждый момент времени. Это сделано на илл. 18.
На этом рисунке логическая структура аргументов Зенона выставлена на обозрение, и парадокс исчезает. В пространстве-времени есть две линии-траектории, одна более крутая, чем другая, и им ничего не остается, как пересечься! (Вы можете немного позабавиться, обозначив время, когда Ахилл достигает точки старта черепахи, потом – время, когда Ахилл достигает точки, куда черепаха продвинулась с того времени, когда Ахилл был на ее старте… Таким образом вы пройдете по каждому пункту рассуждения Зенона и обезвредите одну за другой заложенные им логические мины.)
Мы можем вернуться к траекториям в первоначальном смысле, спроецировав траектории пространства-времени горизонтально на координатную ось расстояния, таким образом скрыв всю информацию о времени.
Траектории полета с Горы Ньютона уже были нарисованы в двумерном пространстве, поэтому их пространственно-временная версия должна существовать в трех измерениях. В этом трехмерном пространстве-времени круговые орбиты развертываются в спирали.
Вы также можете, пользуясь математическим воображением, заставить вещи работать по-другому: возьмите обычное двумерное (или трехмерное) пространство и представьте, что это пространство-время! При этом обычные геометрические графики превращаются в динамические траектории. Или, иначе говоря, мы рассматриваем их как движения точки через пространство. Ньютон детально развил эту основную мысль. Для него это было принципиальной сущностью того, что мы сегодня называем математическим анализом. Ньютон, который изобрел этот анализ, называл его методом флюксий. В соответствии с этим методом такие кривые (и другие геометрические объекты) рассматриваются не как законченные построения, а как сущности, плавно изменяющиеся во времени согласно имеющимся связям между их бесконечно малыми компонентами.
Анализ движения
Иллюстрация 19 – это ключевая диаграмма из «Начал» Ньютона, показывающая, как анализируется движение. Кеплер нашел математические законы, описывающие движение планет, но он не выводил сами эти законы из более глубоких физических принципов. На этом рисунке, используя свой специфический метод анализа – разбиение на мелкие части, Ньютон торжественно открывает внутреннее значение законов Кеплера.
Илл. 19. Ньютоновский анализ движения. Отклонения от движения по прямой линии обязаны действию силы.
Орбита разбивается на очень большое количество шагов, каждый из которых проходится за небольшой интервал времени. Поскольку это не физическое, а математическое обобщение, мы можем сделать эти шаги настолько малыми, насколько хотим. В течение достаточно малого интервала времени орбита может аппроксимироваться прямой линией, а скорость объекта, грубо говоря, постоянна. Один из ньютоновских законов движения говорит, что тело, не испытывающее воздействие каких-либо сил, будет оставаться в состоянии движения
[29], т. е. продолжать двигаться в том же направлении и с той же скоростью. На рисунке мы видим пунктирные линии продолжений орбитальных сегментов, показывающие тот путь, по которому бы следовало тело, если бы сила внезапно исчезла. Настоящая орбита отличается от этих экстраполяций именно потому, что существует действующая на тело сила.
Путем детального математического рассмотрения этой проблемы мы можем определить, сила какого рода требуется, чтобы поддерживать заданную орбиту. Ньютон сделал это для орбит планет, используя открытые Кеплером зависимости (три закона, которые мы привели выше). С помощью такого анализа Ньютон пришел к выводу, что эта сила направлена непосредственно к Солнцу и убывает пропорционально квадрату расстояния от него.
Мы не можем не отметить, что этот анализ по сути своей является математической реализацией основных понятий, которые мы видели в мысленном эксперименте с Горой Ньютона.
Анаграмма Ньютона
Разложение движения на бесконечно малые части с учетом сил, определяющих любое отклонение от «естественного» движения (движения с постоянной скоростью), – это сущность механики Ньютона. Не желая делиться своими секретами, но страстно стремясь обозначить свое первенство, Ньютон опубликовал эту анаграмму:
