На самом деле в обычном восприятии только согласованная последовательность звуков называется мелодией и только сосуществование согласующихся звуков – гармонией. Но поскольку память способна запоминать на некоторое время идеальный образ высоты прозвучавшего звука, чтобы затем сравнить ее с высотой последующего звука и судить истинно об их согласованности или несогласованности, из этого может возникать и возникает чувство гармонии между настоящим и прошлым звуками, доставляющее такое же удовольствие, как от двух звучащих в настоящий момент звуков.
Тот факт, что мы можем сравнивать частоты тонов, сыгранных в немного разное время, является сильным доводом в пользу существования сети нервных клеток, которые воспроизводят и ненадолго запоминают принятый рисунок колебаний. Эта вероятность, думаю, хорошо согласуется с нашей обычной идеей представления, поскольку такие сети могут воплощать стандартные представления. Здесь заслуживает внимания то, что восприятие относительной высоты звука соответствует простому сравнению стандартных представлений, а это иная задача, нежели узнавание абсолютной высоты звука.
Относительно этого круга идей заслуживает также внимания то, что мы способны более-менее поддерживать заданный темп в течение длительного периода времени. Это снова говорит в пользу существования настраиваемых колебательных сетей в нашей нервной системе, но на этот раз для значительно более низких частот.
Я не обладаю идеальным слухом, что меня огорчает. Я пытался обойти свою акустическую абстракцию относительной высоты звука, стимулируя некоторого рода искусственную синестезию. Я написал программу, чтобы случайным образом проигрывать определенные звуки вместе с определенными цветами. Позже я проверял себя то на одних данных, то на других, пытаясь предсказать парный сигнал. После многих утомительных подходов у меня получилось скромное улучшение по сравнению со случайным угадыванием. Возможно, существуют более эффективные способы, или же этого легче добиться молодым людям.
Чтобы определить, находятся ли высказанные здесь конкретные идеи о гармонии на верном пути, потребовалась бы напряженная экспериментальная работа. Но было бы здорово через два с половиной тысячелетия после Пифагора дойти до сути его великого открытия и тем самым воздать честь повелению дельфийского оракула: «Познай самого себя».
Платон I: Структура из симметрии – платоновы тела
Пять платоновых тел – это все конечные правильные многогранники, которые могут существовать.
Кажется вполне естественным задать вопрос, не можем ли мы выйти за пределы обнаруженного нами (или, скорее, Евклидом) ограничения, в соответствии с которым возможно лишь пять платоновых тел, рассматривая платоновы поверхности более общим способом. Вспомним, мы говорили, что в одной вершине не может сходиться более шести треугольников, потому что тогда сумма их углов составит больше 360°, а это больше того пространства, которое имеется в одной вершине. С шестью треугольниками мы получаем плоскость как платонову поверхность.
С тремя, четырьмя или пятью треугольниками мы, делая проекцию из центра нашей платоновой поверхности на описанную сферу, получаем правильные сечения сферы. Это возможно, потому что равносторонние сферические треугольники имеют углы больше 60°, поэтому мы можем окружить вершину менее чем шестью из них. Это другой способ представления обоих классов платоновых тел – как правильные сечения плоскостей или сфер.
Таким образом, мы пришли к тому, чтобы спросить более конкретно: можем мы представить себе другой вид поверхности, где углы будут меньше? Тогда мы, возможно, придумаем платоновы поверхности, где в одной вершине сходятся более шести треугольников.
Мы действительно можем это сделать! Что нам нужно, так это поверхность, которая получается в результате деформации плоскости таким образом, чтобы она изогнулась наружу, а не внутрь – так, как мы делаем, чтобы получить сферу. Седловидная форма дает необходимый эффект. На ней мы можем представить себе правильные сечения, основанные на вершинах с семью треугольниками или даже с большим их количеством (вообще говоря, произвольным). Если говорить более точно, математическая фигура, известная как трохоида, дает правильную седловидную форму, позволяющую сохранить все в симметрии, чтобы каждая вершина и каждый треугольник (или другая фигура) выглядели бы одинаково.
Древние геометры знали о геометрии более чем достаточно, чтобы выполнить все необходимые построения. Дальнейшее следование ходу этой мысли могло привести умных людей, живших на рубеже нашей эры, к понятиям неевклидовой геометрии XIX в. и к тем видам графического дизайна, которые сделал популярным М. Эшер в XX в. К сожалению, этого не случилось.
Можно увидеть стенд с пятью резными камнями…
Существуют разногласия по поводу того, являются ли ашмолинские и другие подобные камни действительно платоновыми телами. См. math.ucr.edu/home/baez/icosahedron.
Ньютон III: Динамическая красота
Великий математик и физик XX в. Герман Вейль.
Герман Вейль – один из моих героев. Я вырос на его книгах и даже сейчас часто к ним возвращаюсь. Поскольку он умер, когда я был маленьким ребенком, мне не довелось встретиться с ним лично. Но его прекрасные строки, которые приведены в тексте, открыли нам возможность сотрудничать, которую я продолжаю здесь. Вейль всегда сражал меня своей поэтичностью, и мне пришло в голову: почему бы не сделать следующий шаг и не написать стихотворение?
Вот это стихотворение. Первая его строка одновременно является заглавием.
Мир реален.
Наблюдаю картины я странные
В токах плоти, чьей сетью пронизан:
Мимолетные, беглые, рваные
Части мира, где жить я был призван.
Целый мир – он реален, я знаю.
То, что мы в нем, – ничуть не случайно.
Максвелл I: Эстетика Бога
Несколько великолепных бесплатных веб-сайтов, где вы можете интерактивно изучать уравнения Максвелла.
Веб-сайт maxwells-equations.com обеспечивает всестороннее начальное знакомство с уравнениями Максвелла, включая видеокурс. Статья в «Википедии» en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations очень хороша. При работе с этой статьей я рекомендую вам начать с раздела «Conceptual Descriptions» («Понятийное описание»), который в основном следует той же линии, что наша книга, и разрабатывается дальше. Также существует прекрасный и понятный маленький видеоролик о картине полей электромагнитной волны, идущей сквозь пространство. Я очень его рекомендую: en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations#/media/File: Electromagneticwave3D.gif.
Максвелл II: Двери восприятия
Кажется, эта способность встречается очень редко и не очень хорошо изучена.
