Энергия массы тела равна его массе, умноженной на квадрат скорости света. Если обозначить, как это обычно делают, скорость света как c, соответствующая формула будет, пожалуй, самым известным уравнением в науке:
Я добавил здесь нижний индекс mass, чтобы подчеркнуть, что это только одна из многих форм энергии. Полная энергия массы, когда у нас имеется несколько тел, просто равна сумме их энергий массы. Таким образом, полная энергия массы просто равна суммарной массе, умноженной на квадрат скорости света. Полная «скорректированная» ньютоновская энергия равна классической ньютоновской энергии – кинетической плюс потенциальной, – определение которой вы найдете в учебниках (а также ниже!), плюс энергия массы. Именно скорректированная ньютоновская энергия, а не классическая ньютоновская энергия, сама собой появляется в релятивистской механике.
При условии, что полная масса сохраняется, скорректированная и классическая ньютоновские энергии отличаются на константу (и обе они сохраняются). Однако скорректированная энергия работает в более общем случае. Она предусматривает некоторые случаи, такие как ядерные реакции, где сохранение массы не является хорошим приближением. В таких случаях энергия массы в начале процесса не равна энергии массы в конце. Полная энергия сохраняется, так что разность между этими энергиями массы должна появляться в других формах. Именно это имеют в виду, когда говорят о переходе массы в энергию или энергии в массу. Или, скорее, должны иметь в виду. Это понятие было мощным источником недопонимания и путаницы в научно-популярной литературе. Я надеюсь, что здесь помог разъяснить его.
Для точных вычислений и в приложениях, где есть несколько частиц, движущихся с околосветовыми скоростями, нужно использовать полные релятивистские формулы для энергии движения, и ее разделение на энергию массы и кинетическую энергию становится искусственным.
В интересах читателей, немного владеющих алгеброй, привожу эту формулу:
Когда модуль скорости много меньше скорости света, υ << c, это выражение становится приближенно равно сумме энергии массы mc² и ньютоновской кинетической энергии mυ2/2, как мы описали выше. По мере того как модуль скорости приближается к скорости света, энергия движения растет неограниченно.
Потенциальная энергия, если качественно, это энергия положения, или расстояния. Например, потенциальная энергия камня вблизи поверхности Земли может быть запасена, если поднять камень, или потрачена, если его уронить. По мере того как камень падает после того, как его отпустили, его скорость, а значит, и его кинетическая энергия, растет. Следовательно, чтобы соблюсти сохранение энергии, его потенциальная энергия должна уменьшиться.
Понятие потенциальной энергии можно расширить, чтобы оно охватывало многие более общие случаи. Когда тела действуют с какими-то силами друг на друга, потенциальная энергия, связанная с их взаимодействием, является функцией расстояния между ними. Потенциальная энергия – энергия расстояния – это естественное понятие для теорий, основанных на дальнодействии, таких как теория гравитации Ньютона. Как и эти теории, она остается полезной во многих приложениях, где она предоставляет достаточно хорошее, удобное для пользователя приближение. Но в фундаментальной физике со времен революции, начатой Фарадеем и Максвеллом, передающие взаимодействие поля заменили дальнодействие. Энергия поля заменяет потенциальную энергию.
Энергия поля запасена по всему пространству, где есть не равные нулю поля. Например, плотность энергии поля, связанная с электрическим полем в точке пространства, пропорциональна квадрату модуля электрического поля в этой точке.
Возможность замены понятия потенциальной энергии, зависящей от расстояния, понятием энергии поля, определяемой локально, одновременно глубока и очень красива. Рассмотрим потенциальную энергию между положительно (электрически) заряженной и отрицательно заряженной частицами. По примерно таким же причинам, какие мы обсуждали в связи с камнем вблизи Земли, существует потенциальная энергия, связанная с расстоянием между этими частицами. В описании Фарадея – Максвелла то же самое количество энергии появляется совершенно иным образом. Оба наших заряда создают электрические поля, и полное электрическое поле равно сумме их вкладов. Плотность энергии, связанная с полным электрическим полем равна его квадрату, и значит, содержит не только квадраты каждого поля по отдельности, но также и перекрестный член, отражающий их одновременное присутствие. (Если эта идея вам не знакома, давайте на мгновение вернемся назад. Квадрат числа (1 + 1) = 2, т. е. 2 × 2 = 4, не равен удвоенному квадрату единицы, т. е. двум. Есть еще один вклад, или перекрестный член, когда два независимых вклада в сумму встречаются в ее квадрате. В более общей алгебраической записи мы имеем (a + b)² = a² + b² + 2ab с перекрестным членом 2ab.) Перекрестные члены, которые появляются в полной плотности энергии поля, будут зависеть от относительной геометрии двух полей, из которых это поле состоит, которая в свою очередь зависит от относительного расстояния между частицами. Когда вы вычислите полную плотность энергии, включая вклады от всего пространства, чтобы получить полную энергию поля, вы обнаружите, что вклад этих перекрестных членов в точности совпадает с потенциальной энергией в старой теории и может ее заменить.
В этом примере энергия поля – это всего лишь другой (и более сложный!) способ прийти к тому же ответу, как и в случае потенциальной энергии. Но в более полном физическом представлении фундаментальные законы формулируются локально и естественным образом приводят к энергии поля. Потенциальная энергия – это приближенное производное понятие, полезное в некоторых задачах, но не подходящее для других.
Сохранение энергии и в конечном счете энергию саму по себе лучше всего можно понять с помощью обобщенной теоремы Нётер, которая связывает законы сохранения с симметрией. В таком подходе сохранение энергии свидетельствует о симметрии (инвариантности) физических законов относительно трансляции (сдвига) во времени – т. е. относительно преобразования, при котором все события сдвигаются вперед (или назад) на один и тот же интервал времени. Другими словами, сохранение энергии имеет место, когда законы не зависят от какого-либо заданного извне фиксированного времени.
В квантовом мире энергия приобретает дополнительные, очень тонкие и красивые свойства. Особенно примечательно соотношение Планка – Эйнштейна, которое связывает энергию фотонов и их цвет. В сочетании с идеями Бора эта связь позволяет нам расшифровать понятие спектра. Цвета спектрального света атома кодируют энергии его стационарных состояний, предоставляя видимую Музыку Сфер.
