Это означает, что ускорение Земли (GМСОЛН /r2= v2/r) не зависит от массы Земли. Это примечательный факт. Ускорение силы тяжести не зависит от массы ускоряющегося объекта, это касается и околосолнечных орбит, и тел, падающих на Землю в ее гравитационном поле, – все потому, что масса тела оказывается и в левой, и в правой части уравнения и, соответственно, сокращается. Если я брошу книгу и лист бумаги, то они будут испытывать одно и то же ускорение и должны падать с одинаковой скоростью, хотя книга гораздо массивнее. Галилей утверждал, что именно так и должно быть в вакууме. Так ли это на практике? Нет, книга и лист падают с разной скоростью из-за сопротивления воздуха. Сопротивление воздуха воздействует как на книгу, так и на лист, но поскольку книга гораздо массивнее, сопротивление воздуха ускорению книги будет невелико – в сущности, пренебрежимо. Однако если я положу лист бумаги на толстую книгу, так чтобы книга исключала соприкосновение листа бумаги с воздухом, и брошу их как одно целое, то они упадут вместе. Можете сами проверить!
Когда астронавты экипажа «Аполлона-15» прибыли на Луну, они захватили с собой молоток и перо, чтобы экспериментально проверить этот принцип. На Луне практически нет атмосферы; у ее поверхности – самый настоящий вакуум, соответственно никакого сопротивления воздуха там не будет. Когда астронавты одновременно бросали молоток и перо, те падали абсолютно синхронно, точно как прогнозировал Ньютон (и Галилей). В Интернете можно посмотреть видеозапись этого эксперимента.
Возможно, вам известно, что Аристотель в данном случае ошибался. Он считал, что более массивные тела должны падать быстрее и с большим ускорением. Это казалось ему логичным, но на самом деле он ни разу не поставил эксперимент, чтобы проверить, а верна ли эта идея. Он мог бы взять камень побольше и камень поменьше (ни на один камень сопротивление воздуха практически не действует), бросить их и убедиться, что оба камня упадут практически одновременно. Вывод: в науке исключительно важно экспериментально проверять любые интуитивные догадки!
Рассмотрим смежную проблему. Сила тяготения Земли воздействует на яблоко, которое вы держите в поднятой руке. В формуле Ньютона есть величина r – расстояние от яблока до Земли. Можно было бы подумать, что здесь имеется в виду расстояние от яблока до пола, около 2 метров. Оказывается, это неверно. Ньютон осознал, что нужно учитывать притяжение каждого грамма земной массы; не только той, что у вас под ногами, но и всей остальной, вплоть до противоположного полушария. Ему потребовалось около 20 лет, чтобы выполнить такие вычисления. Пришлось сложить силы притяжения каждого отдельного кусочка Земли, у каждого из которых – свое расстояние и направление от яблока. Для сложения всех этих сил потребовалось изобрести совершенно новую область математики, сегодня именуемую интегральным исчислением. Результат такого вычисления показывает, что гравитация шарообразного тела (например, Земли) действует так, как будто вся масса сконцентрирована в центре этого тела, – интуитивно совершенно не очевидно. Чтобы вычислить силу тяготения, действующую на яблоко, нужно представить, что вся масса Земли локализована в одной точке на глубине 6371 километров – таково расстояние от поверхности до центра Земли. Мы уже пользовались таким методом, когда сравнивали падающее яблоко и вращающуюся на орбите Луну.
Но вертикальное падение яблока (прямо вниз) определенно не похоже на орбитальное вращение Луны. Почему Луна летает кругами, а яблоко просто падает на землю? Чтобы забросить яблоко на орбиту, мне бы пришлось горизонтально швырнуть его по прямой так сильно, чтобы оно могло облететь всю Землю. Есть, например, космический телескоп «Хаббл», летающий всего в нескольких сотнях километров над поверхностью Земли. Примерно за полтора часа он облетает околоземную орбиту, окружность длиной около 40 тысяч километров. Можно вычислить его скорость – где-то 8 километров в секунду. Итак, чтобы забросить яблоко на орбиту, нужно швырнуть его строго по горизонтали со скоростью восемь 8 в секунду.
Предположим, вы стоите на вершине высокой горы (где эффект трения атмосферы уже можно не учитывать) и бросаете объекты по горизонтали на все более высокой скорости. Бросьте яблоко так сильно, как сможете, – и оно почти сразу упадет на землю. Пригласите для броска бейсболиста-профессионала – он кинет яблоко немного дальше, но оно все равно упадет. Теперь пусть яблоко бросит Супермен. Он будет бросать все сильнее и сильнее, яблоко будет долетать все дальше, пока криволинейная траектория яблока не упрется в землю. Но поверхность Земли не плоская; на больших расстояниях становится заметно, что она также изгибается книзу. Супермен действительно может швырнуть яблоко так, чтобы оно летело со скоростью 8 километров в секунду. Такой объект также будет падать под действием гравитации, но его криволинейная траектория будет повторять кривизну Земли. Поэтому этот объект так и не упадет, а окажется на круговой околоземной орбите. Объект на орбите все время падает и при этом не попадает на Землю. Когда вы бросаете яблоко, оно падает под действием земного тяготения. Благодаря все тому же тяготению Земли, и космический телескоп «Хаббл», и Луна вращаются вокруг Земли (орбита Луны гораздо выше, поэтому Луна движется намного медленнее). На низкой околоземной орбите вы падаете со скоростью вращения Земли, поэтому так и не можете упасть. Ньютон понимал это и теоретически описал искусственный спутник Земли – за 270 лет до того, как спутник был сконструирован!
Если вам доводилось ехать на лифте, который вдруг резко уходил вниз, то в течение какого-то мига вы ощущали, что падаете и все вокруг падает вместе с вами. Если бросить яблоко, то оно упадет, а вы нет, так как вас держит земля под ногами. Вы остаетесь в покое относительно окружающих предметов, а яблоко падает под действием гравитационного ускорения. Если бы вы держали в руке яблоко, а вас при этом сшибли с ног, то вы бы увидели, как падаете вместе с яблоком (пока не очутились бы на полу).
Вероятно, вы видели снимки астронавтов, работающих на Международной космической станции на околоземной орбите. Земное притяжение действует как на астронавтов, так и на МКС. Но все тела в пределах МКС падают с одинаковой скоростью – вспомните наши расчеты, демонстрирующие, что гравитационное ускорение не зависит от массы объекта, находящегося на орбите. Когда все падает с одинаковой скоростью, астронавты ощущают невесомость. «Вес» фиксируется на обычных напольных весах, когда вы на них стоите (или, что эквивалентно, фиксируется отдача весов по третьему закону Ньютона). Но если вы падаете вместе с весами, то не давите на них – они покажут «0». Вы будете невесомы.
Это, однако, не означает, что ваша масса равна нулю. Масса и вес не одно и то же! Масса, по Ньютону, – это величина, учитываемая во втором законе движения (где соотносятся силы, массы и ускорение); именно благодаря этой величине возникает и тяготение. Когда кто-то говорит, что «хочет избавиться от лишнего веса», на самом деле он хочет сбавить собственную массу. Жир имеет массу, именно от жира человек и избавляется. Тогда, прилагая прежние усилия, человек легче ускоряется и начинает свободнее двигаться.
Давайте подытожим достижения Ньютона. Изучая движения планет, известных на то время, Кеплер вывел три закона, описывающих планетные орбиты. Затем явился Ньютон и совершенно переосмыслил открытия Кеплера; сформулировав три своих закона движения, он пытался понять, как движется все на свете, а не только шесть планет, вращающихся вокруг Солнца. Кроме того, он подвел физическую базу под силу тяготения – важнейшую силу в астрономии. Воспользовавшись третьим законом Кеплера, он показал, что сила тяготения должна ослабевать по формуле 1/r2. Он обнаружил, что два тела, пребывающие в гравитационном взаимодействии, притягиваются друг к другу; так, гравитационное взаимодействие Солнца и любой планеты вычисляется по формуле F = GМСОЛНMПЛАН/r2. Резюмируя все это, видим, что третий закон Кеплера можно выразить на уровне ньютоновских законов движения и закона тяготения. Ньютон предложил гораздо более обширное понимание физики, лежащей в основе третьего закона Кеплера, нежели сам Кеплер.
