Но факт остается фактом: Земля вращается вокруг Солнца с ускорением, и это ускорение вычисляется по формуле v2/r. Далее Ньютон применил третий закон Кеплера, чтобы определить, как сообщаемое Солнцем ускорение изменяется в зависимости от радиуса. Период орбитального вращения планеты (P) равен
P = (2πr/v);
следовательно, орбитальный период вычисляется как расстояние, проходимое планетой по орбите (2πr), деленное на скорость (v). Таким образом:
P пропорционально r/v и
P2 пропорционально r2/v2.
Кеплер установил, что P2 пропорционально a3, где a — большая полуось планетной орбиты. В данном случае земная орбита почти круговая, поэтому можно приблизительно взять r = a. В таком случае, подставив r вместо a, находим:
P2 пропорционально r3.
ПосколькуP2 также пропорционально r2/v2,
r2/v2 пропорционально r3.
Разделив на r, получаем:
r/v2 пропорционально r2.
Обратив это выражение, находим, что
v2/r (ускорение) пропорционально 1/r2.
При помощи таких рассуждений, третьего закона Кеплера и элементарной алгебры мы показали, что гравитационное ускорение, сообщаемое Солнцем другому телу, удаленному от него на расстояние r, обратно пропорционально квадрату этого расстояния; это и есть ньютоновский «закон обратных квадратов». Вот как его сформулировал сам Ньютон:
…в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после. Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются.
Такие представления о гравитации Ньютон также применил к Земле и Луне. Вспомните знаменитое упавшее яблоко, вдохновившее Ньютона. Оно расположено на расстоянии одного земного радиуса от центра Земли и падает на Землю с ускорением 9,8 м/с2. Луна расположена на расстоянии 60 земных радиусов от центра Земли. Если сила тяготения Земли убывает в пропорции 1/r2 (как и у Солнца), то на лунной орбите земное притяжение должно давать ускорение в (60)2 раз меньше тех 9,8 м/с2, которым равно ускорение свободного падения на поверхности Земли, то есть около 0,00272 метра в секунду за секунду.
Точно как и в случае с вращением Земли вокруг Солнца, можно рассчитать ускорение Луны, вращающейся вокруг Земли, взяв период вращения (27,3 дня) и радиус лунной орбиты (384 000 километров). Подставив эти числа в формулу v2/r, получаем ускорение 0,00272 метра в секунду за секунду. Эврика! Как красиво все согласуется с моделью, где расчет велся от яблока. По словам самого Ньютона, два этих результата показались ему «весьма близко совпадающими». Одна и та же сила притягивает к Земле и яблоко, и Луну, причем траектория Луны искривляется и становится не прямолинейной, а круговой, что позволяет ей удерживаться на приблизительно концентрической околоземной орбите. Сила земного притяжения, под действием которой падает яблоко, распространяется и на орбиту Луны. Ньютон совершил это открытие, когда жил в доме бабушки, – Кембриджский университет в те годы был закрыт из-за чумы. Но он не опубликовал результаты своей работы. Вероятно, он был раздосадован, что наблюдения не вполне согласовывались с прогнозом – небольшое расхождение могло быть связано с тем, что Ньютон пользовался неточным значением земного радиуса. Как бы то ни было, опубликовать эти расчеты лишь много лет спустя уговорил Ньютона Эдмунд Галлей (в честь которого названа комета).
Ньютон сформулировал закономерность, которую часто называют пафосным выражением «Закон всемирного тяготения» – с ним вы познакомились в главе 2. Рассмотрим два объекта – например, Землю и Солнце. Расстояние между ними (1 а.е., или 1,5 × 108 км) примерно в 100 раз превосходит диаметр самого Солнца (1,4 × 106 км). Эти тела обладают соответственно массами MЗЕМЛ и МСОЛН.
Ньютон обнаружил, что сила притяжения между двумя этими телами пропорциональна массе каждого из них и обратному квадрату расстояния r между ними (как я уже говорил, он пришел к такому выводу, опираясь на третий закон Кеплера). «Пропорциональна» в данном случае означает, что сила будет включать константу, характеризующую пропорциональность, – она называется G, или «постоянная Ньютона», в честь сэра Исаака. Вот формула Ньютона, описывающая тяготение между Солнцем и Землей:
F = GMЗЕМЛМСОЛН/r2.
Речь идет о силе притяжения; два тела притягиваются друг к другу, и, следовательно, эта сила направлена от первого тела ко второму и от второго к первому.
По третьему закону Ньютона эта формула охватывает как силу притяжения Земли к Солнцу, так и силу притяжения Солнца к Земле. Но Солнце неизмеримо массивнее Земли. По второму закону Ньютона ускорение есть сила, деленная на массу. Следовательно, ускорение Земли гораздо, гораздо больше ускорения Солнца, и скорость, сообщаемая Солнцу из-за такого ускорения, крошечная по сравнению со скоростью Земли (Солнце и Земля вращаются вокруг общего центра масс, но он находится под поверхностью Солнца. Солнце минимально колышется вокруг этого центра, тогда как Земля описывает вокруг Солнца большой круг).
Рис. 3.1. Ускорение Луны и ньютоновского яблока, падающего с дерева. Обратите внимание: в обоих случаях вектор ускорения (изменения скорости) направлен к центру Земли. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом
Рассмотрим еще одно удивительное следствие из формулы Ньютона. По второму закону Ньютона сила гравитации, формулу которой мы записали чуть выше, равна произведению массы Земли (MЗЕМЛ) на ее ускорение, а при движении по кругу ускорение равно v2/r. Таким образом, формулу F = ma можно переписать:
GMЗЕМЛМСОЛН/r2= MЗЕМЛv2/r.
Обратите внимание: масса Земли присутствует и в левой, и в правой части тождества, поэтому ее можно сократить, и останется:
GМСОЛН/r2= v2/r.
