Теперь давайте обсудим два дополнительных пространственных измерения, которые остались неучтенными на этой картинке. В принципе, геометрически эта Вселенная является не кругом и не сферой, а так называемой 3-сферой. Что такое 3-сфера? Круг – это множество точек, расположенных в евклидовой плоскости на расстоянии r от центральной точки. Сфера – это множество точек, расположенных на расстоянии r от центральной точки в трехмерном евклидовом пространстве. Сама сфера представляет собой двумерную поверхность. Флатландец может жить на поверхности сферы. Он обнаружит, что живет на сфере, если отправится в путь и, пройдя на расстояние 2πr, вернется в отправную точку. Кроме того, он может понять, что обитает в Сферландии, если начертит треугольник с тремя прямыми углами, расположенными соответственно на Северном полюсе и в двух точках на экваторе, отстоящих друг от друга на 90° (как показано на рис. 19.1). Такой геометрии в евклидовой плоскости не бывает. Любое поперечное сечение сферы – это окружность. (Интересно, что нам с Марком Олпертом удалось доказать следующее: если бы Эйнштейн жил во Флатландии, где точечные массы не притягиваются друг к другу, то он мог бы смоделировать статическую сферландскую вселенную, не вводя космологическую постоянную. Но Эйнштейн жил не во Флатландии – ему пришлось иметь дело со сферой, содержавшей на одно измерение больше!) Знакомые каждому из нас окружность и сферу можно назвать соответственно 1-сфера и 2-сфера. 3-сфера подобна им, просто в ней на одно измерение больше: она охватывает множество точек, расположенных на расстоянии r от центральной точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Расстояния между точками в четырехмерном евклидовом пространстве измеряются по формуле ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2 (время здесь не учитывается). Мы добавили в уравнение член для w, то есть для дополнительного пространственноподобного измерения. 3-сфера представляет собой множество точек, где r2 = x2 + y2 + z2 + w2.
Точно как окружность является искривленной одномерной замкнутой линией, а сфера – искривленной двумерной замкнутой поверхностью, 3-сфера представляет собой искривленный трехмерный объем. У окружности есть конечная длина (2πr), у сферы – конечная площадь поверхности (4πr2), а у 3-сферы – конечный объем (2π2r3). Если вы живете во Вселенной, представляющей собой 3-сферу, и отправляетесь на север, строго следуя этому курсу, то вернетесь в отправную точку, когда пройдете расстояние 2πr. Обогнув Вселенную, вы вернетесь домой с юга. Если вы отправились на восток и летели, никуда не сворачивая, то вернетесь на родную планету с запада, преодолев расстояние 2πr и обогнув Вселенную. Но даже если вы улетели с родной планеты вверх, то, не отклоняясь от курса, вы вернетесь домой снизу, после того как преодолеете расстояние 2πr. Это трехмерная Вселенная, в которой, как и в нашей, есть три пары направлений: север-юг, восток-запад и верх-низ. Но, в какую бы сторону вы ни отправились, вы все равно вернетесь в исходную точку. Отважный путешественник, пересекающий эйнштейновскую Вселенную, которая представляет собой 3-сферу, может исследовать далекие галактики и гарантированно вернуться домой, если будет двигаться строго по геодезической линии в любом направлении. Он в любом случае прилетит обратно домой, как бумеранг. Пространство ограничено, но у него нет ни краев, ни пределов, которые могли бы преградить ему путь.
Вселенная, представляющая собой 3-сферу, имеет конечный объем, а значит, в ней может уместиться конечное количество галактик. Например, если среднее расстояние между галактиками составляет 24 миллиона световых лет, то средний объем, приходящийся на одну галактику, составит 24 миллиона световых лет в кубе – (24 млн св. лет)3. Если радиус кривизны статической Вселенной, заключенной в 3-сферу, составляет 2400 миллионов световых лет, то объем такой статической Вселенной составит 2π2(2400 млн св. лет)3. Если разделить (2400 млн св. лет)3 на (24 млн св. лет)3, получится 1003, или один миллион. Таким образом, во Вселенной должно содержаться 2π2 миллиона галактик, то есть около 20 миллионов галактик. Если бы вы жили в статической вселенной Эйнштейна, то обнаружили бы, что галактики не движутся друг от друга и количество их конечно. Астрономы, живущие в такой Вселенной, могли бы сосчитать все галактики.
Во Вселенной, заключенной в 3-сферу, нет ни одного «привилегированного» наблюдателя; положения всех галактик подобны друг другу, а на поверхности сферы нет никаких особых точек. Любой наблюдатель на Земле может считать, что находится в начале координат (то есть сидит на верхушке шара). Любому землянину кажется, что он прямо сейчас стоит на вершине. Я ведь стою вертикально – значит, все, кто вокруг меня, должны немного наклоняться в стороны. А австралийцы вообще висят вверх тормашками. Но таким образом поставить себя в центр может кто угодно. В Пекине есть круглая платформа, которая должна изображать центр мира. Через Англию провели 0° долготы – нулевой меридиан, который проходит прямо через Гринвич (пригород Лондона, в котором расположена обсерватория). Каждый из нас может считать, что находится в центре, поскольку все точки эквивалентны. Важно, что если бы вы взялись подсчитывать галактики во Вселенной, расположенной в 3-сфере, то во всех направлениях количество галактик оказалось бы одинаковым. Такой подсчет получился бы изотропным, то есть не зависел бы от направления – в точности по закону Хаббла.
В 1917 году Эйнштейн опубликовал описание своей статической космологии. Космологическая постоянная – дополнительный член, вписанный им в уравнения, – придавала пустому пространству дополнительную кривизну, но величина этой постоянной была так мала, что не сказывалась на экспериментах по проверке общей теории относительности в масштабах Солнечной системы. Более того, при добавлении этого члена в уравнениях продолжало соблюдаться локальное сохранение энергии! Вероятно, Эйнштейн был единственным представителем своего времени, кто вообще догадался «построить» статическую Вселенную при помощи такой поправочной величины.
Между тем, в России в 1922 году Александр Фридман нашел космологическое решение исходных эйнштейновских уравнений поля (без космологической постоянной). В решении Фридмана учитывались лишь обычные звезды (или галактики). Это было динамическое (а не статическое) решение, и, соответственно, его было сложнее найти. В модели Фридмана Вселенная имела форму 3-сферы, точно как предполагал Эйнштейн, но эта модель допускала, что радиус сферы со временем может меняться. Фридман нашел решение (рис. 22.5), пространственно-временная схема которого напоминала поставленный вертикально мяч для американского футбола (он так ставится перед подачей).
Рис. 22.5. Фридмановская Вселенная Большого взрыва. На этой пространственно-временной схеме также показано всего одно пространственное измерение (окружность мяча) и время (по вертикали). Мировые линии галактик – это вертикальные швы на мяче. Это геодезические, то есть максимально прямые, линии, которые можно начертить на поверхности мяча. Под действием масс галактик пространство искривляется, и мировые линии соответствуют геодезическим в искривленном пространстве. Эта Вселенная динамическая, она начинается с Большого взрыва. На первом этапе галактики разлетаются друг от друга, при этом окружность Вселенной увеличивается. Это расширяющаяся Вселенная. Но в конечном итоге Вселенная начинает сжиматься из-за гравитационного притяжения галактик, и этот процесс завершается Большим схлопыванием. Единственным реальным элементом на этой картинке является сама поверхность мяча – все, что находится внутри и снаружи нее, можно игнорировать. Иллюстрация предоставлена Дж. Ричардом Готтом, адаптирована из Time Travel in Einstein’s Universe, Houghton Mifflin, 2001
